【算法 & 高级数据结构】树状数组：一种高效的数据结构（一）

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1 引言

1.1 树状数组的概念

树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种数据结构，用于高效地处理数组的动态查询和更新操作。它可以在O(log n)的时间复杂度内完成单点更新和前缀和查询操作。树状数组常用于解决数组频繁更新和查询前缀和的问题，比如求解逆序对、区间和等。

1.2 树状数组的应用场景

1. 动态查询问题：树状数组非常适用于需要动态查询某个区间内元素和的场景。
2. 频繁更新问题：树状数组也适用于频繁更新数组元素的情况。
3. 逆序对问题：逆序对问题是一个常见问题，即找出数组中所有满足i<j且a[i]>a[j]的(i, j)对。树状数组可以在O(nlogn)的时间复杂度内解决这个问题。

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2 基础知识

2.1 二进制索引的概念和性质

二进制索引，也称为树状数组或有限差分数组，是一种特殊的数据结构，用于高效地处理数组中的前缀和查询。它的核心思想是利用二进制表示中的每一位来快速计算前缀和，从而实现高效的查询和更新操作。

概念：

二进制索引的主要概念是基于数组元素的二进制表示来构建索引。具体来说，对于数组中的每个元素，我们可以将其下标转换为二进制形式，并根据二进制位来构建索引。通过维护这些索引，我们可以快速计算数组的前缀和，从而实现高效的查询和更新操作。

性质：

• 前缀和查询的高效性：二进制索引可以在O(log n)的时间复杂度内计算数组的前缀和。这是因为它利用了二进制表示的特性，通过跳跃式地计算不同位上的前缀和，实现了快速查询。
• 单点更新的高效性：与前缀和查询一样，二进制索引也可以在O(log n)的时间复杂度内完成单点更新操作。当数组中的某个元素发生变化时，只需要更新对应的索引，即可快速反映到前缀和上。
• 空间效率：二进制索引的空间复杂度与原始数组相同，即O(n)。它不需要额外的存储空间来维护索引结构，因此具有较高的空间效率。

2.2 前缀和的概念和计算

前缀和（Prefix Sum）是一个数组的概念，指的是数组中从第一个元素开始到某个位置元素（包括该位置元素）的总和。前缀和通常用于快速计算某个区间的和，避免了对每个元素进行逐一相加的操作，从而提高计算效率。

计算前缀和的方法很简单，通常是通过迭代数组中的每个元素，并将当前元素与前一个元素的前缀和相加，得到当前元素的前缀和。第一个元素的前缀和就是它本身。

例如，给定一个数组 arr = [1, 2, 3, 4, 5]，它的前缀和数组 prefix_sum 可以这样计算：

prefix_sum[0] = arr[0] = 1  
prefix_sum[1] = arr[0] + arr[1] = 1 + 2 = 3  
prefix_sum[2] = arr[0] + arr[1] + arr[2] = 1 + 2 + 3 = 6  
prefix_sum[3] = arr[0] + arr[1] + arr[2] + arr[3] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10  
prefix_sum[4] = arr[0] + arr[1] + arr[2] + arr[3] + arr[4] = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

所以，前缀和数组 prefix_sum 为 [1, 3, 6, 10, 15]。

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3 树状数组的定义和数学推导

3.1 通俗易懂的解释什么是树状数组※

对于一个数组，我们通常需要这样的操作：

1. 修改某个元素的值
2. 求一段区间的和

如果用朴素的做法，我们通常需要开一个数组，保存下来所有元素，每查询一次，遍历一次数组

但这会使得求和操作的时间复杂度达到$O(n)$，但如果数据量和查询次数达到上百万，这样的效率太低了

• 但有人可能会想到，把数组中的元素两两求和，保存到另一个数组中：
  

这样我们在计算的时候就会节省一半的时间，修改数据的时候也就是多改一个数字而已，但是对于很大的数据量，还是很慢。

• 那我们可以再将这一层元素两两求和，往上叠加一层，直到只剩一个元素为止：
  

这样即使要求和的数字很多，我们也可以利用这些额外的数组计算出需要的答案（用空间换时间的思想）

例如：要计算前14个数字的和

只需要计算这样4个数字就行

即使要计算前一百万个数字的和，我们也只需要进行10~20次加法

这样将查询的时间复杂度降到了$O(\log n)$，效率提升了很多

观察这个数组我们可以发现，数组中的某些数字是不会用到的，大家可以手动模拟一下，所有层的第偶数个数字在计算时都不会被用到，都有更好的方案来替代

去除掉不会被用到的数字之后，剩下的数字正好是$n$个，这与数组的长度是一样的

所以，我们可以用一个与原数组长度相同的数组来装下这些数，这个数组就是一颗树状数组，数组中的每一个元素都对应下面的每一个区间，这些区间表示的都是每个对应的区间和

求和时，我们只需要找到对应的区间，将这些区间相加即可找到答案

修改某个数据时，我们也只需要向上找到包含它的所有区间修改即可

所有查询以及修改元素的操作，都可以在 O