SAT规约到3SAT

SAT规约到3SAT

一、SAT、3SAT问题描述

SAT问题描述：

给定一个又穷的布尔变量集合$X=\{x_1, x_2, \cdots , x_n\}, |X|=n$， 每个变量能取0或1， 一组子句$C=\{C_1, C_2, C_3,\cdots ,C_m\}, |C|=m,C=C_1\wedge C_2 \wedge \cdots \wedge C_m$每个$C_i$ 是由多个变量组成的析取范式，长度不限，即$z_1\vee z_2 \vee z_3 \cdots \vee z_k$。问题：给定一个布尔变量集合X和子句集合C，是否存在一个真值赋值，使得C为真，即每个子句为真。

3SAT问题描述：

给定一个有穷的布尔变量集合$X=\{x_1, x_2, \cdots x_n\}, |X|=n$, 每个变量能取0或1， 一组子句$C=\{C_1, C_2, \cdots C_m\}, |C|=m，C=C_1 \wedge C_2 \wedge \cdots \wedge C_m$，每个$C_i$ 是由三个变量组成的析取范式，即$z_1\vee z_2 \vee z_3$。 问题：给定一个布尔变量集合X和子句集合C，是否存在一个真值赋值， 使得C为真，即每个子句为真。
一个例子：
$X=\{x_1, x_2, x_3\}, C=\{C_1, C_2, C_3\}, C_1=x_1 \vee \bar {x_2} \vee x_3, C_2=\bar{x_1} \vee \bar{x_2}\vee{x_3},C_3=\bar{x_1}\vee x_2 \vee \bar{x_3}$
则存在一个真值赋值：$x_1=1, x_2=1, x_3=1$,使得$C=1$

二、证明

1、证明3SAT是NP问题

3SAT的实例为$X=\{x_1, x_2, \cdots, x_n\} , C=\{C_1, C_2,\cdots, C_m\}$证书为对每个变量的赋值，我们只要验证每个子句都为真即可，很明显这个过程是多项式时间的。

2、给出规约过程。

给定一个SAT的实例：$X=\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}, C=\{C_1, C_2, \cdots, C_m\}, C_i=z_{i, 1}\vee z_{i, 2}\vee z_{i, 3}\cdots \vee z_{i, k}$， 我们要将这个问题的实例变成3SAT的实例$X',C'$。对于每个$C_i$， 有以下四种情况：

• $|C_i|=1$，则创建2个变量：$y_{i, 1}, y_{i,2}$，使得$C_{i}^{'}=(z_{i,1}\vee y_{i,1}\vee \bar {y_{i,2}})\wedge (z_{i,1}\vee y_{i,1}\vee {y_{i,2}})\wedge(z_{i,1}\vee \bar{y_{i,1}}\vee \bar {y_{i,2}})\wedge(z_{i,1}\vee \bar{y_{i,1}}\vee {y_{i,2}})$

• $|C_i|=2$，则创建1个变量：$y_{i,1}$ ，使得$C_i^{'}=(z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee y_{i,1})\wedge (z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee \bar {y_{i,1}})$

• $|C_i|=3$，则不变即可。

• $|C_i|\ge 4$，假设为$k$，则添加$k-3$个变量，使得
  

  $$C_i^{'}=(z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee y_{i,1}) \wedge (\overline{y_{i,1}}\vee z_{i,3} \vee y_{i,2})\wedge(\overline{y_{i,2}}\vee z_{i,4}\vee y_{i,3})\wedge \cdots \wedge (\overline {y_{i,k-3}}\vee z_{i, k-1} \vee z_{i,k})$$

3、证明此规约是多项式时间的。

对于每个子句$C_i, C_i^{'}$比$C_i$多了最多$k-3$个变量，因此多个$m(k-3)$个变量和$m(k-3)$个子句。接下来我们证明$C^{'}$是可满足的当且仅当C是可满足的。

4、对于每个SAT的实例，如果存在一个真值赋值，则每个子句$C_i$一定有一个literal为1，即$z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee \cdots \vee z_{i,k}$中一定有一个为1，

(1) $|C_i|=1$，则$z_{i,1}=1$，因此不论$y_{i,1},y_{i,2}$为何值，$C_i^{'}=1$
(2)$|C_i|=2$，则$z_{i,1}\vee z_{i,2}=1$，不论$y_{i,1}$为何值，$C_i^{'}=1$
(3)$|C_i|=3$，则$C_i^{'}=1$
(4)$|C_i|\ge 4$，则假设：
- $z_{i,1}\vee z_{i,2}=1, 则y_{i,j}=0(j=1,2,3,\cdots ,k-3)$，因此$C_i^{'}=1$

• $z_{i,k-1}\vee z_{i,k}=1,则y_{i,j}=1(j=1,2,3,\cdots ,k-3)$，因此$C_i^{'}=1$

• $z_{i,j}=1(2<j<k-1),则\overline{y_{i,a}}=0(a\le j-2), y_{i,a}=0(a\ge j-1)$，因此$C_i^{'}=1$

  因此得到$C^{'}$的真值赋值$t^{'}$

5、假设$t^{'}$是$C^{'}$的真值赋值，很容易得出C存在真值赋值：
当$C_{i}^{'}=(z_{i,1}\vee y_{i,1}\vee \overline {y_{i,2}})\wedge (z_{i,1}\vee y_{i,1}\vee {y_{i,2}})\wedge(z_{i,1}\vee \overline{y_{i,1}}\vee \overline {y_{i,2}})\wedge(z_{i,1}\vee \overline{y_{i,1}}\vee {y_{i,2}})=1$，则必须要$z_{i,1}=1$

当$C_i^{'}=(z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee y_{i,1})\wedge (z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee \overline {y_{i,1}})=1$，则必须有$z_{i,1}\vee z_{i,2}=1$

当$C_i^{'}=(z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee y_{i,1}) \wedge (\overline{y_{i,1}}\vee z_{i,3} \vee y_{i,2})\wedge(\overline{y_{i,2}}\vee z_{i,4}\vee y_{i,3})\wedge \cdots \wedge (\overline {y_{i,k-3}}\vee z_{i, k-1} \vee z_{i,k})$，
假设$z_{i,1}\vee z_{i,2}\vee z_{i,3}, \cdots , z_{i,k}=0$，且$C_I^{'}=1$，则$y_{i,1}=1, \overline{y_{i,1}} =0$，以此类推得出$\overline{y_{i, k-3}}=0$，使得最后$(\overline{y_{i,k-3}}\vee z_{i,k-1} \vee z_{i,k})=0$，与$C_i^{'}=1$矛盾。