3SAT->4SAT

最新推荐文章于 2020-12-15 21:08:28 发布
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分类专栏： Algorithm
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Request：The input set is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals,and such that each variable occurs at most in each clause.Prove that the exact 4SAT problem is NP-complete.

Solution:
Reduction from 3-SAT to exact 4-SAT problem.

Given an instance I of 3SAT,suppose to be any clause with exactly three literals,
(a1∨a2∨a3)(a4∨a5∨a6)...(a3k−2∨a3k−1∨a3k).

First:
如果一个子句中有两个重复的变量，去掉重复的变量，literal变为两个。如果同时出现一个变量和它的非，去掉这个子句。然后把这些子句转换成4SAT的形式。
（1）(a1∨a2∨a3)可以变成
(a1∨a2∨a3∨y1)(a1∨a2∨a3∨y1¯)因为要保证原来3SAT的(a1∨a2∨a3)为真，在4SAT里也要为真。而4SAT中，y1和y1¯肯定有一个为假，那么这就迫使(a1∨a2∨a3)为真。
（2）假设去掉一个重复的变量后，新的子句变成了(a1∨a2)。
(a1∨a2∨x∨w)(a1∨a2∨x∨w¯)(a1∨a2∨x¯∨w)(a1∨a2∨x¯∨w¯)因为要保证原来3SAT的(a1∨a2)为真，(x∨w¯)和(x¯∨w)和(x∨w)和(x¯∨w¯)肯定有一个为假那么就能保证(a1∨a2)为真。
因此，可实现从3SAT 到 4SAT的归约。

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void PID_Controller(PID_Control *pv) { /* proportional term */ pv->err = pv->Ref - pv->Fbk; // 偏差计算 pv->Up = pv->Kp * pv->err; pv->Ui = Limit_Sat(pv->Ui +(pv->Ki * pv->Up), pv->Umax, pv->Umin); pv->Ud = pv->Kd *(pv->err - pv->err_l); /* integral term */ pv->Out = Limit_Sat(pv->Up + pv->Ui + pv->Ud, pv->Umax, pv->Umin); // 限制PI输出，超出最大值 pv->err_l = pv->err; } 这是我当前使用的pid代码，与上述提供的代码相比，kp和ki参数是相同的吗，为什么
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<think>好的，我现在需要帮助用户分析他们提供的PID代码与之前提供的示例代码中的Kp和Ki参数是否相同，以及原因。首先，我需要仔细阅读用户提供的代码，理解其结构和工作原理，然后将其与之前的示例进行对比。 首先，用户给出的代码是一个PID控制器的实现函数，结构体中包含Kp、Ki、Kd，以及误差项、积分项、微分项等。函数内部计算比例项、积分项和微分项，并进行输出限幅。关键点在于积分项的处理方式，用户代码中的积分项是直接使用Ki乘以Up（即Kp乘以误差）来更新Ui，而之前的示例代码中积分项是直接积分误差乘以Ki。这可能导致参数的实际效果不同，需要进一步分析。 接下来，我需要回顾之前提供的示例代码。之前的示例中有两种PID实现：位置式和增量式。在位置式中，积分项是通过累加误差乘以Ki得到的，而用户代码中的积分项则是通过将Ki乘以Up（即Kp*误差）再进行累加。这说明两者的积分项处理方式不同，可能导致用户代码中的Ki参数实际上相当于示例中的Ki乘以Kp，因此参数并不相同。 然后，我需要确定这种差异如何影响Kp和Ki的参数值。例如，在用户代码中，Ui的更新是pv->Ui += Ki * Up，而Up是Kp * err。因此，积分项实际上是Ki*Kp*err的累积，而示例中的积分项是Ki*err的累积。这意味着用户代码中的Ki参数实际上相当于示例中的Ki/Kp，或者示例中的Ki是用户代码中的Ki*Kp。因此，两者的Ki参数在数值上并不相同，尽管名称相同。 此外，用户代码中还包含微分项的处理，而之前的示例可能主要讨论的是PI控制器。不过用户的问题主要集中在Kp和Ki上，所以微分项可能暂时不需要深入讨论，但需要注意是否影响整体参数的理解。 接下来需要考虑用户可能的实际需求。用户可能在调参时遇到了问题，或者发现参数效果与预期不符，因此需要明确代码实现差异导致的参数含义不同。这有助于用户正确调整参数，避免误解。 另外，需要检查用户代码中的积分项是否有错误。例如，用户代码中的积分项是pv->Ui = Limit_Sat(pv->Ui + (pv->Ki * pv->Up), ...)，即用Ki乘以Up（Kp*err）来更新积分，而通常积分项应该是Ki乘以err。这种实现是否合理？或者是否存在笔误？例如，是否应该是pv->Ki * pv->err，而不是pv->Ki * pv->Up？如果这里确实是用Up，那么积分项实际上变成了Kp*Ki*err的累积，这会改变积分的作用，使得Ki参数的实际效果与常规不同。 如果用户代码中的积分项确实是Ki*Up，那么Kp和Ki参数在用户代码中的组合效果相当于示例中的Kp和Ki相乘，因此需要调整参数整定方法。例如，在示例中，积分系数是Ki，而在用户代码中，积分系数实际上是Ki*Kp。因此，当用户按照示例中的方法计算Ki时，实际需要将示例中的Ki除以Kp才能得到用户代码中的Ki值。 此外，用户可能没有意识到这种差异，导致调参时出现困惑。例如，用户可能按照示例中的公式计算了Kp和Ki，但由于代码实现的不同，实际效果与预期不符。因此，需要明确指出这种差异，并说明如何调整参数以适应代码结构。 总结来说，用户代码中的积分项处理方式与示例不同，导致Ki参数的实际含义不同。因此，尽管参数名称相同，但数值上需要调整。需要向用户解释这一点，并提供相应的转换方法，帮助他们正确理解和调整参数。</think>您提供的PID代码与之前示例中的PI控制器在积分项处理上存在关键差异，这导致实际使用的$K_p$和$K_i$参数虽然名称相同，但**物理意义和数值需要区别对待**。以下是详细对比分析： --- ### 一、代码结构差异对比 #### 您提供的代码（含积分项修改）： ```c void PID_Controller(PID_Control *pv) { pv->err = pv->Ref - pv->Fbk; // 误差计算 pv->Up = pv->Kp * pv->err; // 比例项：直接乘Kp // 积分项：用 Ki * Up（即 Ki*Kp*err）累积 pv->Ui = Limit_Sat(pv->Ui + (pv->Ki * pv->Up), pv->Umax, pv->Umin); // 微分项：Kd*(当前误差-上次误差) pv->Ud = pv->Kd * (pv->err - pv->err_l); pv->Out = Limit_Sat(pv->Up + pv->Ui + pv->Ud, pv->Umax, pv->Umin); pv->err_l = pv->err; } ``` #### 之前示例的PI控制器（标准位置式）： ```c float PI_Update(PI_Controller *pi, float error) { pi->integral += error * pi->Ki; // 积分项：直接乘Ki float output = error * pi->Kp + pi->integral; return Limit_Sat(output, ...); } ``` --- ### 二、参数等效性分析 #### 1. 比例项($K_p$) - **完全相同**：两者的比例项均为$K_p \cdot err$，因此$K_p$参数含义一致 #### 2. 积分项($K_i$) - **本质差异**： - **您的代码**：积分项为$\sum (K_i \cdot K_p \cdot err)$ （即$K_i$实际作用于$K_p \cdot err$的结果） - **示例代码**：积分项为$\sum (K_i \cdot err)$ （标准PI形式） - **参数等效关系**： $$ K_i^{您的代码} = \frac{K_i^{标准}}{K_p} $$ 例如：若标准PI需要$K_p=2, K_i=10$，则您的代码应设为$K_p=2, K_i=10/2=5$ --- ### 三、理论验证 #### 假设目标传递函数： $$ C(s) = K_p + \frac{K_i^{标准}}{s} $$ #### 您的代码实际等效传递函数： $$ C&#39;(s) = K_p \left(1 + \frac{K_i^{您的代码}}{s}\right) = K_p + \frac{K_p K_i^{您的代码}}{s} $$ #### 等价条件： $$ K_i^{标准} = K_p \cdot K_i^{您的代码} $$ --- ### 四、实际影响示例 | 场景 | 标准PI参数 | 您的代码应设参数 | |--------------------|-------------------|-----------------------| | 理论计算参数 | $K_p=5, K_i=200$ | $K_p=5, K_i=200/5=40$ | | 代码直接移植 | $K_p=5, K_i=200$ | 实际等效$K_i=5×200=1000$（可能引发震荡） | | 参数误用后果 | 超调严重/振荡 | 积分作用过强 | --- ### 五、修改建议 #### 方案1：保持代码结构，调整参数计算 在参数整定时，需将理论计算的$K_i^{标准}$转换为： $$ K_i^{您的代码} = \frac{K_i^{标准}}{K_p} $$ #### 方案2：修改代码为标准形式（推荐） ```c // 修改积分项计算：直接使用 Ki * err pv->Ui = Limit_Sat(pv->Ui + (pv->Ki * pv->err), ...); ``` --- ### 六、微分项补充说明 您的代码实现了完整PID，而之前示例为PI控制器。微分项$K_d$的计算正确，但需注意： 1. 微分项需乘以**误差差分**而非输出差分 2. 实际应用时应加入低通滤波（例如一阶惯性环节）： ```c // 改进的微分项计算 float alpha = 0.1; // 滤波系数 pv->d_term = (1-alpha)*pv->d_term + alpha*(pv->err - pv->err_l)/Ts; pv->Ud = pv->Kd * pv->d_term; ``` --- ### 七、参数整定适配表 | 参数类型 | 标准PI公式 | 您的代码需调整公式 | |---------|------------------|-------------------------| | $K_p$ | 直接使用理论值 | 直接使用理论值 | | $K_i$ | $K_i = \frac{1}{2τ_c}$ | $K_i = \frac{1}{2τ_c K_p}$ | | $K_d$ | $K_d = \frac{L}{2τ_d}$ | 保持相同（需注意离散化） | --- 通过上述分析可知，虽然参数命名相同，但因积分项实现方式的差异，$K_i$的实际数值需要按比例缩放。建议用方案2修改代码以保持参数物理意义的一致性。
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