YuYunTan的专栏

三视图几何  在上一次博文中，讨论了如何从一组点的两个视图重建一组点，以及相机的相对位置。 重建可能仅限于空间的射影变换，以及对相机矩阵的相应调整。  在本博文中，我们考虑三种观点的情况。 而对于两个视图，基本代数实体是基础矩阵（fundamental matrix），对于三个视图，这个角色由三焦点张量扮演。  三焦点张量是3×3×3数字阵列，其涉及三个视图中对应点或线的坐标。 正如基础矩阵...

文章目录李群与李代数大全（1） 在计算机视觉应用详细描述为什么说李群可以使用在机器人学和计算机视觉中三维欧氏空间向量叉积（Cross product）叉积例子(右手定则，Right-hand rule)反对称矩阵刚体运动刚体运动或特殊欧氏变换例子：三重积和体积旋转运动及其表示旋转的正交矩阵表示旋转矩阵$SO(3)$上的指数坐标（映射）$SO(3)$中的李对数罗德里格斯公式（Rodrigues' f...

文章目录射影变换的初步了解逆命题平面间的映射消除平面透视图像的射影失真直线与二次曲线的变换直线的变换二次曲线的变换博文内容总结和概览知识定理射影变换的初步了解  2D射影几何研究的是关于射影平面IP2{\rm IP}^2IP2在所谓射影映射的变换群下保持不变的性质。定义1  射影映射是把IP2{\rm IP}^2IP2到自身的一种满足下列条件的可逆映射hhh：三点x1,x2,x3{\rm x...

文章目录图像形成（2） 基本的辐射图像形成模型简版详版投影缩减(Foreshortening)和立体角(solid angle)辐亮度(radiance)和辐照度(irradiance)双向反射分布函数朗伯（Lambertian）表面朗伯表面的图像强度图像形成（2） 基本的辐射图像形成模型  下面将简要描述一个基本的辐射图像形成模型，并表明为了将模型简化为纯几何模型必须要进行一些简化。 我们会...

文章目录图像形成（4） 投影几何语言中的图像形成射影空间及其齐次坐标小例子-投影空间的拓扑模型无穷远点和"消失点(灭点，vanishing points)"的图像例子2-图像“在图像平面之外”图像形成（4） 投影几何语言中的图像形成  本文是上一篇文章的部分补充。  我们已经知道描述的透视针孔照相机模型的两个式子【系列的上一篇博文有描述】：λx′=KΠ0gX0\lambda x^\prim...

文章目录图像形成（5）球面透视投影和近似相机模型球面透视投影近似相机模型图像形成（5）球面透视投影和近似相机模型球面透视投影  我们在博文图像形成（3）理想相机模型中描述的透视针孔相机模型考虑平面成像表面。 另一种常用的成像表面是球体，如图1所示。球面透视投影模型：三维点ppp的像是穿过光学中心ooo的光线与光学中心周围的半径为rrr的球体的交点处的点xxx。 通常rrr被选为111。...

MVG学习笔记(11) --变换层次  射影变换组成一个群，称为射影线性群。  n×nn\times nn×n可逆实矩阵为一般线性群,称为GL(n)GL(n)GL(n)。将相差纯量因子矩阵视为等同得到射影线性群PL(n)PL(n)PL(n)，是GL(n)GL(n)GL(n)的商群。  PL(3)PL(3)PL(3)的重要子群有仿射群和欧式群。仿射群是PL(3)PL(3)PL(3)中最后一行为...

文章目录图像形成（3）理想相机模型前言必备知识(回顾)理想的透视相机具有内参的相机总结图像形成（3）理想相机模型前言  在针孔相机模型和朗伯表面的假设(在此博文中有描述)下，人们可以基本上减少图像形成过程，以追踪从物体上的点到像素的光线。 也就是说，知道空间中的哪个点投影到图像平面上的哪个点允许人们直接将该点处的辐射与其图像的辐照度相关联。透视投影的几何图形捕获了这个过程的本质，它可以简...

图像形成（完） 点和线的图像，原像和余像及系列博文总结  通过前面的该系列博文，博主相信各位已经建立了一个点的透视图像的概念。 原则上，这允许我们定义3D中任何其他几何实体的图像，其可以被定义为一组点（例如，线或平面）。 然而，正如我们从球面投影中看到的那样，即使对于一个点，对于其图像也存在看似不同的表示：两个向量x∈R3x\in \mathbb{R}^3x∈R3和y∈R3y\in \mathb...

一维射影几何  线的射影几何形状IP1\mathbb{IP}^1IP1的推导以与平面大致相同的方式进行。 线上的点xxx由齐次坐标(x1，x2)T(x_1，x_2)^T(x1​，x2​)T表示，并且x2=0x_2=0x2​=0的点是线的理想点。 我们将使用符号xˉ\bar{\rm x}xˉ来表示2维向量(x1，x2)T(x_1，x_2)^T(x1​，x2​)T。 线的投影变换由2×22×22×2...

文章目录旋转表达之Lie-Cartan坐标及欧拉角讲解欧拉角预知描述和定义几何定义(静态定义)Tait-Bryan角万向锁数学公式说明万向锁总结旋转表达之Lie-Cartan坐标及欧拉角讲解  指数坐标(eω^te^{\hat{\omega}t}eω^t)和单位四元数q=q0+q1i+q2j+q3k{\rm q}=q_0+q_1i+q_2j+q_3kq=q0​+q1​i+q2​j+q3​k都可...

文章目录2.2 2D投影平面行向量和列向量点和线线的齐次表示点的齐次表示自由度直线的交点小例子1点的连线理想点和无穷远线平行线的交点小题目理想点与无穷远线射影平面的模型对偶(Duality)二次曲线和对偶二次曲线五点定义一条二次曲线二次曲线的切线对偶二次曲线退化的二次曲线小题目博文总结和内容概览结论应记内容2.2 2D投影平面  众所周知，平面中的一个点可以用IR2\mathcal{\rm I...

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文章目录前言无处不在的射影几何坐标齐次性仿射和欧几里得几何仿射几何欧几里得几何3D欧几里得几何前言  关于计算机视觉圣经的学习笔记。本次此系列的博文除了此此博文，基本不会包含前言了，参考书《多视图几何》第二版。无处不在的射影几何  我们熟悉射影变换,比如看图像,方不是方,圆并非圆.将二维对象映射成图片是射影变换的例子。  射影变换保留了哪些属性?值得肯定的是,形状必定没有保留,所以圆可能...

文章目录相机投影相机作为点校准相机例子1.1 绘画的3D重建相机投影  本博文议题是图像形成过程，即三维世界的二维表示的形成，以及我们可以从中推断出图像中出现的3D结构。  从三维世界到二维图像的下降是我们失去一个维度的投影过程。 建模此过程的常用方法是通过中心投影(central projection)，其中来自空间点的光线从3D世界点通过空间中的固定点（投影中心）绘制。 该光线将与选择...

四视图几何和n视图重建  可以使用基于张量的方法再进行一步，并定义四个视图中可见的四焦点张量相关实体。 然而这种方法很少使用，因为计算符合其内部约束的四焦点张量的相对困难。   然而，它确实提供了基于四个视图计算投影重建的非迭代方法。 然而，张量方法不会扩展到超过四个视图，因此从四个以上的视图重建变得更加困难。  从几种观点考虑了许多方法进行重建，我们考虑了其中的一些方法。 一种方法是使用三...

文章目录前言多视图几何的数学基础知识的掌握（1）线性空间线性空间的定义小题目举个例子子空间举个例子线性独立性和基基的性质向量的内积规范和诱导内积勾股定理(毕达哥拉斯定理)正交分解柯西-施瓦茨不等式三角不等式平行四边形恒等式克罗内克乘积(Kronecker Product)和矩阵的拼接(stack)例子例子线性变换和矩阵规范化定义单射（injective）线性群$GL(n)$和$SL(n)$示例群的...

文章目录迁移(Transfer)欧几里德重建迁移(Transfer)  我们已经从一组图像讨论了3D重建。 投影几何的另一个有用的应用是迁移(Transfer)：给定一个（或多个）图像中的点的位置，确定它将在该组的所有其他图像中出现的位置。 为此，我们必须首先使用（例如）一组辅助点对应来建立摄像机之间的关系。 概念性地迁移是直接给出一个重建是可能的。   例如，假设在两个视图（x\rm xx...

文章目录从多个视角重建重建步骤从多个视角重建  我们现在转向本次博文的议题- 从几幅图像重建场景。 最简单的情况是两个图像，我们将首先考虑。 作为一种数学抽象，我们将讨论局限于仅由点组成的“场景”。  对于重建的许多算法，通常输入是一组点对应关系。  因此，在两视图的情况下，我们在两个图像中考虑一组对应关系xi↔xi′{\rm x}_i \leftrightarrow {\rm x}^\p...

文章目录自动标定已知在无穷远处的平面给定图像中的方形像素进行自动校准3D图形模型视频增强自动标定  在不了解相机标定的情况下，不可能比射影重建做得更好。  在任意数量的视图中的一组特征对应中没有信息可以帮助我们找到绝对二次曲线的图像，或者相当于相机的校准。 但是，如果我们只知道相机的校准，那么我们就可以确定绝对二次曲线的位置。  例如，假设已知对于从图像序列重建场景中使用的每个相机的校准是...

文章目录前言多视图几何的数学基础知识的掌握（2）--李群李代数三维重建的起源三维欧式空间叉乘与反对称阵刚体运动刚体运动的表示旋转的指数坐标李群$SO(3)$李群与李代数李群定义指数映射$SO(3)$的对数李群与李代数的图解可视化罗德里格斯的公式$SE(3)$李群表示刚体运动$SE(3)$运动旋量(twist)的李代数(The Lie Algebra of Twists)$SE(3)$的指数坐标相机...

文章目录旋转表达之四元数四元数四元数运算加减法乘法标量乘法四元数乘法共轭模与范数四元数的逆四元数的数乘四元数的点乘（点积）四元数的叉积四元数指数，对数和幂函数四元数表示旋转四元数与旋转矩阵的转换四元数恢复轴角表示四元数的特殊子群文章目录旋转表达之四元数四元数四元数运算加减法乘法标量乘法四元数乘法共轭模与范数四元数的逆四元数的数乘四元数的点乘（点积）四元数的叉积四元数指数，对数和幂函数四元数表示旋...

文章目录各向异性（anisotropic）定义哪种物体具有各向异性反射？什么导致各向异性反射？总结各向异性（anisotropic）定义  它指一种存在方向依赖性，这意味着在不同的方向不同的特性，相对于该属性各向同性。当沿不同轴测量时，它可以定义为材料的物理或机械特性（吸光度，折射率）的差异，电导率，拉伸强度等）该定义摘自维基百科  我们关注的元宝是计算机视觉领域，在计算机图形学领域...