应用数学课堂笔记（一）——欧拉方程

教材

《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君 高等教育出版社

有限维到无限维

向量中有有限个元素，它们可以进行加法、数乘、定义范数、定义内积、定义夹角。比如，对于向量$a$和$b$，其夹角余弦值为
$$cos<a,b>=\frac{(a,b)}{||a||\cdot ||b||}$$

那么，如果把一个向量中的元素数量扩展到无穷，向量就变成了函数，我们尝试仿照向量，对函数定义范数、内积、夹角。首先是内积，它变成了
$$(f,g)=\int f(x)g(x)dx$$

有了内积，很容易定义出范数。
$$||f||=\sqrt{(f,f)}=\sqrt{\int f^2(x)dx}$$

以及夹角。
$$cos<f,g>=\frac{(f,g)}{||f||\cdot ||g||}$$

有了夹角，我们就可以定义函数的正交，即如果$cos<f,g>=0$，则函数$f$与$g$正交。正交函数族的例子有三角函数（傅里叶分解的基函数），切比雪夫多项式等等。函数在一组两两正交函数${\varphi }_i(x)$上的投影，被称为广义傅里叶级数。即
$$f=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_i{\varphi }_i$$
其中，
$$c_i=(f_i,{\varphi }_i)$$

如果我们只取级数中的$N$项和$f_N$作为对$f$的逼近，那么就有误差
$$e=||f_N-f||$$
对于这$N$项的基函数，按$(f_i,{\varphi }_i)$选取$c_i$能让误差最小，因此$f_N$是一个最佳逼近。

线性泛函的例子

就像向量函数以向量为自变量，泛函以函数（无限维的向量）为自变量。其映射$J$为$函数空间\to R$。

最速降线

问题：从$(0,0)$到$(x_1,y_1)$构建一个光滑斜曲面，使得小球在重力中下降速度最快。

假设曲面的函数为$y=y(x)$，那么有两端的约束$y(0)=0,y(x_1)=y_1$；当小球下落到$(x,y)$时，按照能量守恒，它的速度为$v=\sqrt{2gy}$，取一个微元，斜面长度为$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$，因此通过这个微元的时间为
$$t=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}$$
因此通过整个斜面的总时间为
$$T={\int }_0^{x_1}tdx={\int }_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}dx$$

假设这个斜面是连续的，那么解一定存在于如下的函数空间（$C^1$表示一阶连续）：
$$A=\left\{y|\begin{array}{c}y(x)\in C^1(x,y)\\ y(0)=0,y(x_1)=y_1\end{array}\right\}$$

假设$y^{\ast }$是最后的解，那么我们要求的问题就变成了一个优化问题
$$y^{\ast }={\arg \min }_{y\in A}T$$

一会儿再考虑如何求解这个方程。

极小曲面问题

问题：求一段通过$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的曲线，绕着$x$轴旋转后侧面表面积最小。

首先写出面积公式。按$x$轴分成无数个微元，每个微元都是一个周长为$2\pi y$，高为$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$的长方形，因此总面积为
$$S={\int }_{x_1}^{}$$