912常考的几种树和堆

一、AVL树

1.每个结点的平衡因子的绝对值不超过1（某个节点x的平衡因子=左孩子高度-右孩子高度）

2.高度看的是这棵树中最深的那个节点，深度看的是这个节点的层次（规定根节点的那一层为第0层）

3.插入和删除的区别

	失衡节点	需要进行的操作	进行操作后树的总高度是否变化	进行一次调整后失衡会不会向上传播
插入	可能有多个	单旋或者双旋	旋转后高度会恢复到未插入节点前	不会
删除	只会有1个，甚至没有	单旋或者双旋	恢复平衡后高度可能比删除节点的要小	会

4.重平衡根据g(x)找p,v节点时，都是优先选择高度更高的孩子或者和父亲同侧的孩子（这是俩孩子等高的情况下采取的措施）

5.删除节点时什么时候会导致树高比删除前的要小？


6.按递增次序将2^h+1-1个关键码插入初始为空的AVL树中，必然得到高度为h的满树（习题7-20）。然后利用这个结论，结合二叉查找树左小右大的特点，可以很容易地证明下面这个题目的充分性；至于必要性，可以比较直观地看出来，如果不是满树，那两次构造的堆肯定不一样

至于具体的证明，请看大佬的github

二、伸展树（splay树，P205）

1）经前人证明，伸展树的单次操作均可在分摊的O(logn)时间内完成（证明过程你不要学，记住结论就行）

2）在伸展树中，如果，即便节点v的深度为Ω(n)，双层伸展策略既可将v推至树根，还可以让对应分支的长度收缩到原来的一半

3）删除节点的算法思想：

主要是要记一下，删除节点后，新的伸展树的树根为TR中的最小关键码
概括一下，伸展树中一个节点的删除包括：一次查找+一轮伸展+一次摘除+又一次查找+又一轮伸展

4）插入节点的算法如下，这个就没什么好说的了，就是：一次查找+一轮伸展


5）AVL树中也有单旋和双旋，和splay树中的单层伸展和双层伸展有点类似，但是splay树是要把刚访问过的节点挪到树根，一次插入或者删除都需要多次伸展；而AVL树则是把不平衡性解决了就行，除了少数情况下的删除，其它大部分情况都只需要一次单旋或者一次双旋；从这里也可以看出来，AVL树关注的是平衡性，splay树关注的被访问的那个节点

6）伸展树和AVL树的比较：

	编程难易程度	分摊复杂度	局部性
AVL	需要记录结点高度和平衡因子，较为复杂	两种树相同，都是O(logn)	不适用于局部性很强的场合
splay	不需要记录结点高度和平衡因子，相对简单	两种树相同，都是O(logn)	适用于局部性强的场合

其它方面的评价：
i）不能杜绝单次最坏情况出现，不适用于对效率敏感的场合
ii）复杂度的分析稍显复杂

三、B-树

1）对于m阶B树，相较于同等结点规模的BBST，最大树高会缩减到1/(log₂m-1)，最小树高会缩减到1/log₂m。所以，对于256阶B树，至少可以缩减到原二分查找树的1/7，最多可以缩减到1/8

四、红黑树

五、左式堆（用于堆合并，P297）

1.最右侧通路和堆的最小规模的关系如果最右侧通路的长度为d，那么至少包含2^d+1-1个节点（包括了外部节点），至少包含2^d-1个内部节点

2.npl（null path length）和高度、深度之类的不一样，它的定义如下：

而左式堆中又要保证所有节点的npl(x->lchild)≥npl(x->rchild)
这样一来，npl(x)=1+npl(x->rchild)，即左式堆中某个节点的npl只取决于其右孩子

3.左倾并不意味着左孩子的高度必大于等于右孩子的高度，左倾只能说明每个节点到达右孩子的空节点不比左孩子的空节点慢。如下面这个左式堆，就是右孩子高度大于左孩子高度：

所以，也说明左孩子的规模并不一定大于等于右孩子的规模，
即左孩子的高度和规模都可以小于右孩子。

4.每个节点的npl值，恰好等于其最右侧通路的长度

5.最右侧通路：从x出发沿右侧分支一直前行直至空节点，经过的通路称作其最右侧通路，记作rPath(x)

6.根节点的最右侧通路的终点必为全堆中深度最小的外部节点

7.合并：

结合实例更直观一点：

每次迭代开始时，都先判断两个堆中，谁要当谁的孩子，以及谁要移到左边，谁要移到右边：比如17要放在左边，15要放在右边，于是就把17的右孩子拿出来和以15为根的堆来进行合并成17的新右孩子；当合并全部完成后，还要从当前合并堆的父节点出发，考察它左右孩子的npl值，看是否需要调换左右孩子的顺序，比如上面这个实例中的d->e

8.借助左式堆进行堆合并的时间复杂度为O(max(logn,logm))，堆合并的算法如下，可以看到，通过第5行的swap，，确保右边的堆的根都是较小的那个：

9.