排列组合“捆绑法”、“插空法”、“插板法

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[NOIP初赛复习]插空法与插板法解排列组合问题
不来也不去的一只失忆蝴蝶
10-10 2097
题目大意现有21本书顺序排成一列，挑选4本书使得任意两本书不相邻，有多少种方法？插板法我们可以插入四块挡板，然后每块挡板左边的书为选定的书。容易得到，四块挡板一共分成五个部分，如果每个部分都有至少2个，便不会有相邻的书。 可是，最前面和最后面会出现bug。 我们可以在最前面增加一个，最后面增加两个。由于每部分都至少要有两个，因此最前面的和最后面两个虚拟球的后面都不会有挡板，就证明了现在的每一种方
排列组合经典问题（捆绑法、插空法、插板法）
默的博客
09-13 2120
题目1：有 n 个小球，放入 m 个盒子，每个盒子里至少 1 个，求有多少种情况？ 解析： 我们可以把问题转化为：有 n 个小球，所以在小球之间有 n−1 个空隙我们可以把问题转化一下，有~n~个小球，所以在小球之间有~n-1~个空隙我们可以把问题转化一下，有 n 个小球，所以在小球之间有 n−1 个空隙 放入 m 个盒子，说明要把小球分成 m 份，所以需要在小球之间的空隙中插&nb.
插板法、插空法、捆绑法
dolphin198455的博客
09-22 1358
小学数学没学好 https://wenku.baidu.com/view/d197a7b7ec3a87c24028c4c8.html 转载于:https://www.cnblogs.com/SXia/p/7573565.html
排列组合之插空法
hnjzsyjyj的专栏
08-11 5228
【算法解析】 某些元素不相邻的排列组合题，即不邻问题，可采用插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。用这种方法解题思路清晰、简便易懂。【实例分析】 插空法例题1：把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦。可先将3，4，5三个元素排定，共有A(3,3)种排法，然后再将1，2插入四个空位共有A(4,2)种排法，故由乘法原理得，所有不同
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法
weixin_33721427的博客
04-01 1496
捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。 插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。 插隔板法：指在解决若干...
排列组合之插板法
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hnjzsyjyj的专栏
08-11 2万+
【算法解析】 插板法的模型：m个相同的元素，分给n个不同的空间里，每个空间至少1个，有多少种方法？ “O”表示元素。“|”表示隔板“－”表示间隔，如果我要把10个元素分成3份。 只需在10－1＝9个间隔中挑选2个插入进去就可以隔开成3份。    O －O  | O －O －O －O －O  | O －O －O    O －O －O  | O －O －O －O －O  | O －O 不同的插入方式包含了排序，如第二组和第三组形成的分配为2-5-3和3-5-2。 插板法模型的可直接运用所需的条件有三个：(1)被
排列组合--插板法、插空法、捆绑法.doc
10-10
本文将重点介绍排列组合中的几种特殊方法——插板法、插空法和捆绑法。它们在解决特定类型的问题时具有独特的优势，能够将复杂的问题简化，找到解决问题的捷径。 首先，我们来探讨插板法。插板法是一种用于解决元素...
排列组合插板法、插空法、捆绑法.doc
09-27
排列组合插板法、插空法、捆绑法.doc
信息学奥赛初赛-组合数学-排列组合相邻问题捆绑法
ya888g
05-18 690
同时，需要注意这个“大元素”内部元素的排列。1，2捆绑在一起，和3，4各1个数字,组成3个元素，进行全排列 A(3，3) = 3 * 2 * 1 =6。由于组成的5位数是偶数，所以末尾数字是0，2，4，而0不能在首位，2必须和1在一起所以要分类讨论。其中1和2捆绑在一起，看做一个元素，所以还剩3个元素(0,1和2,3)，安排到对应3个位置上。还剩3个位置，第1个位置比较特殊，不能放0，所以只能在3和4中选1个，C(2,1)=2。还剩下2个位置2和3，没用其他限制，放入剩余的2个数字 A(2,2)=2。
信息学奥赛初赛天天练-07-组合数学-排列组合-插空法习题大全
ya888g
05-21 1442
5)某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和 英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ）1)将 A ， B ，C ， D ， E 五个字母排成一排，若 A 与 B 相邻，且 A 与C 不相邻，则不 同的排法共有( ) 种.2)某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是( )1)五位同学：甲、乙、丙、丁、戊排成一排表演节目，如果甲和戊不相邻，共有多少种不同的排法?
排列组合--隔板法
锦瑟年华,逐梦之人
09-01 1万+
注：该篇文章已与我的个人博客同步更新。欢迎移步https://cqh-i.github.io/体验更好的阅读效果。 隔板法是组合数学的方法，用来处理n个无差别的球放进k个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数，并利用母函数解决问题。 隔板法与插空法的原理一样。 例子 例1.现在有10个球，要放进3个盒子里 ●●●●●●●●●● 隔2个板子，把10个球被隔开成3个部分 ●|●|●●●●...
排列组合问题之捆绑法和插空法　
train的专栏
09-29 3952
<br /><br /> <br />捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决“相邻问题”及“不邻问题”。总的解题原则是“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。在实际公务员考试培训过程中，也有许多学员经常碰到这样的困惑，就是一样类型的题目，不过表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的方法去解决它，从而降低了学习效率。下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解。<br />“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视
组合数公式和“插板法”的使用
远古小山的专栏
09-06 5393
组合数： C
排列组合之捆绑法
hnjzsyjyj的专栏
08-11 2798
【算法解析】 所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。 注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。【实例分析】 捆绑法例题：6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法? 解答：根据题目要求，则其中一个盒子必须得放2个，其他每个盒子放1个球，所以从6个球中挑出2个球看成一个整体，则有C(6,2)，这个整体和剩下4个球放入5个盒子里，则有A(5,5)。方法共有
排队队---排列组合之插空法与捆绑法
weixin_49529683的博客
10-28 1829
input 4 2 9 7 1 9 10 2 8 4 1 7 9 output 34 博主是一个菜鸟，期望各位大佬能进行指点。 读完题目之后，我们不妨来回顾一下高中的排列组合之插空法与捆绑法。 捆绑法 使用方式：将相邻元素捆绑在一起，看成一个整体。 插空法 使用方式：先安排除了不相邻以外的其它元素，再将不相邻元素插空。 思路： 步骤一： 对每一种性格进行捆绑和分组： 情况1.在没有pi<qi的情况下，把所有同种性格的同学捆绑在一起，并把min(pi-qi)对应的同学移动到最左边，并加入A组。.
洛谷 P5520 青原樱（组合数学插板法 or 插空法 模板）
FrostMonarch的博客
11-10 499
题目大意： 找出m个两两不相邻的东西在n个坑的放法。 解题思路： 非常经典的插空法的题目，插空法专门用于两两不相邻的组合数学问题。所谓插空法就是在原有的n个坑里面抽出m个物品，然后在抽出物品之后的坑的缝隙里面塞物品的过程。抽出物品后有n-m个坑，对应有n-m+1个缝隙，往里面插就可以了，公式为： 但是这里m个物体是不同的，我们还要乘上m的阶乘。最后公式： 废话：模板题，以后遇到组合数学...
概率 插空法和捆绑法
大佛拈花的博客
07-06 8843
　一、基础理论： 　　捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。 　　题干中常见的词语如： 相邻站位、相连、连续等。 　　插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。 　　运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 　　可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。 　　 .
插板法/捆绑法/插空法
weixin_30662011的博客
10-07 479
分组用插板、相邻用捆绑、不邻用插空 分组问题 【例1】 共有10完全相同的球分到7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？ C(9,6) 【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法. 　　A．35 B．28 C．21 D．45 C(10,2) 【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有...
插板法组合数
最新发布
04-23
### 插板法在组合数学中的应用 #### 定义与基本概念 插板法是一种用于解决分配问题的经典方法，主要用于求解将若干相同的物品分成不同组的方法数。其核心思想是通过在物品之间的间隙插入分隔符（即“板”），从而实现对物品的划分。 #### 基本公式 假设需要将 \( n \) 个相同物品分为 \( k \) 组，每组至少有一个物品，则可以通过插板法得出总方案数为： \[ C(n-1, k-1) \] 其中 \( C(a, b) \) 表示从 \( a \) 中选取 \( b \) 的组合数[^3]。 如果允许某些组为空，则需先引入虚拟变量或将问题转化为标准形式再进行计算。 #### 示例分析 以下是具体的例子及其解答： ##### 示例 1：无空组情况 **题目描述** 将 8 个相同的球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种放置方式？ **解答过程** 由于每个盒子至少放一个球，因此可先给每个盒子各分配一个球，剩余 \( 8 - 3 = 5 \) 个球待分配。此时问题变为将 5 个球放入 3 个盒子中且不允许空盒的情况。利用插板法可知，总方案数为： \[ C(5-1, 3-1) = C(4, 2) = 6 \] ##### 示例 2：允许空组情况 **题目描述** 将 7 个相同的苹果放到 4 个篮子中，允许部分篮子为空，问有多少种放置方式？ **解答过程** 设四个篮子里分别有 \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) 个苹果，则满足条件 \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7 \)，并允许任意 \( x_i \geq 0 \)。为了消除零约束，令 \( y_i = x_i + 1 \)，则新方程为 \( (y_1 - 1) + (y_2 - 1) + (y_3 - 1) + (y_4 - 1) = 7 \)，化简得 \( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 11 \) 且 \( y_i > 0 \)。由此转换回不带零约束的标准模型，最终方案数为： \[ C(11-1, 4-1) = C(10, 3) = 120 \] #### Python 实现代码 以下是一个基于插板法的简单程序实现，用于计算特定条件下可能的分配方案数量。 ```python from math import comb def count_ways(total_items, groups, allow_empty=False): """ 使用插板法计算分配方案总数 参数: total_items: 总共要分配的物品数量 groups: 要分配到的不同组的数量 allow_empty: 是否允许存在空组，默认False表示不允许 返回: 方案总数 """ if not allow_empty and total_items < groups: return 0 adjusted_total = total_items - groups if not allow_empty else total_items return comb(adjusted_total + groups - 1, groups - 1) # 测试案例 print(count_ways(8, 3)) # 不允许空组的结果应为6 print(count_ways(7, 4, True)) # 允许空组的结果应为120 ``` #### 结论 插板法提供了一种简洁而有效的工具来处理涉及整数分割的问题，在许多实际场景中有广泛应用价值。然而需要注意的是，当问题变得更加复杂时（例如加入更多限制条件或动态变化环境），单纯依赖此方法可能会遇到困难，这时往往需要结合其他技术手段共同解决问题[^4]。
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