插板法/捆绑法/插空法

 

分组用插板、相邻用捆绑、不邻用插空

 

分组问题

【例1】 共有10完全相同的球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法?     C(9,6)

【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里,共有( )种不同方法.

  A.35 B.28 C.21 D.45      C(10,2)    

【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?

解析:
编号1:至少1个,符合要求。
编号2:至少2个:需预先添加1个球,则总数-1
编号3:至少3个,需预先添加2个,才能满足条件,后面添加一个,则总数-2

则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里
所以C(11,2)=55(种)

 

(2010年国考真题)某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?(    )

A.7         B.9         C.10        D.12 

解析:每个部门先放8个,后面就至少放一个,三个部门则要先放8×3=24份,还剩下30-24=6份来放入这三个部门,且每个部门至少发放1份,则C(5,2)=10

 

相邻问题

 

【例1】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种?A(9,9)

 

 

 

 

不邻问题

 

 

【例1】把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种?

解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有A(3,3)种排法,然后再将1,2插入四个空位共有A(4,2)种排法,故由乘法原理可得结果。

【例2】一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种?C(7,3)

 

【例3】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?

解法:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有C(4,3)A(3,3)种。

 

转载于:https://www.cnblogs.com/qilinart/articles/4859559.html

### 插板法在组合数学中的应用 #### 定义与基本概念 插板法是一种用于解决分配问题的经典方,主要用于求解将若干相同的物品分成不同组的方数。其核心思想是通过在物品之间的间隙插入分隔符(即“板”),从而实现对物品的划分。 #### 基本公式 假设需要将 \( n \) 个相同物品分为 \( k \) 组,每组至少有一个物品,则可以通过插板法得出总方案数为: \[ C(n-1, k-1) \] 其中 \( C(a, b) \) 表示从 \( a \) 中选取 \( b \) 的组合数[^3]。 如果允许某些组为空,则需先引入虚拟变量或将问题转化为标准形式再进行计算。 #### 示例分析 以下是具体的例子及其解答: ##### 示例 1:无空组情况 **题目描述** 将 8 个相同的球放入 3 个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,问有多少种放置方式? **解答过程** 由于每个盒子至少放一个球,因此可先给每个盒子各分配一个球,剩余 \( 8 - 3 = 5 \) 个球待分配。此时问题变为将 5 个球放入 3 个盒子中且不允许空盒的情况。利用插板法可知,总方案数为: \[ C(5-1, 3-1) = C(4, 2) = 6 \] ##### 示例 2:允许空组情况 **题目描述** 将 7 个相同的苹果放到 4 个篮子中,允许部分篮子为空,问有多少种放置方式? **解答过程** 设四个篮子里分别有 \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) 个苹果,则满足条件 \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7 \),并允许任意 \( x_i \geq 0 \)。为了消除零约束,令 \( y_i = x_i + 1 \),则新方程为 \( (y_1 - 1) + (y_2 - 1) + (y_3 - 1) + (y_4 - 1) = 7 \),化简得 \( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 11 \) 且 \( y_i > 0 \)。由此转换回不带零约束的标准模型,最终方案数为: \[ C(11-1, 4-1) = C(10, 3) = 120 \] #### Python 实现代码 以下是一个基于插板法的简单程序实现,用于计算特定条件下可能的分配方案数量。 ```python from math import comb def count_ways(total_items, groups, allow_empty=False): """ 使用插板法计算分配方案总数 参数: total_items: 总共要分配的物品数量 groups: 要分配到的不同组的数量 allow_empty: 是否允许存在空组,默认False表示不允许 返回: 方案总数 """ if not allow_empty and total_items < groups: return 0 adjusted_total = total_items - groups if not allow_empty else total_items return comb(adjusted_total + groups - 1, groups - 1) # 测试案例 print(count_ways(8, 3)) # 不允许空组的结果应为6 print(count_ways(7, 4, True)) # 允许空组的结果应为120 ``` #### 结论 插板法提供了一种简洁而有效的工具来处理涉及整数分割的问题,在许多实际场景中有广泛应用价值。然而需要注意的是,当问题变得更加复杂时(例如加入更多限制条件或动态变化环境),单纯依赖此方可能会遇到困难,这时往往需要结合其他技术手段共同解决问题[^4]。
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