zcmu-1934（卡特兰数大数取模（逆元））

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卡特兰数

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本文探讨了如何计算特定规模的二叉树形态数量，并提供了一种高效的算法实现方案。通过对卡特兰数的应用和扩展欧几里德算法求逆元的方法，解决了大数计算中的取模问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1934: ly的二叉树

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Description

某一天，ly正在上数据结构课。老师在讲台上面讲着二叉树，ly在下面发着呆。
突然ly想到一个问题：对于一棵n个无编号节点的有根二叉树，有多少种形态呐？你能告诉她吗？

Input

多组输入，处理到文件结束
每一组输入一行，一个正整数n(1≤n≤1000000),意义如题目所述。

Output

每组数据输出一行，包含一个正整数表示答案，由于数字可能非常大，你只需要把最后的结果对1000000007取模即可。

Sample Input

Sample Output

卡特兰数公式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);这里直接取模是不对的。因为涉及了除法，所以我们改成成（n+1）的逆元。


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 1000005
#define MOD 1000000007
long long ans[N];
void Egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里德
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;  
    }
    Egcd(b,a%b,x,y);  
    LL tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;  
}
int main()
{
    int n;
    ans[0] = 0, ans[1] = 1;  
    for(int i=2; i<=N; i++)
    {
        LL x,y;
        Egcd(i+1,MOD,x,y);//求i+1的乘法逆元x
        ans[i]=ans[i-1]*(4*i-2)%MOD*(x%MOD+MOD)%MOD;  
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%lld\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}