n个节点的二叉树的种树成卡特兰数的分布

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

int a[105][1000];

void katelan()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    a[1][1]=1;
    a[1][0]=1;
    a[2][1]=2;
    a[2][0]=1;
    int len=1,yu;
    for(int i=3;i<=100;i++)
    {
        yu=0;
        for(int j=1;j<=len;j++)
        {
         int t=a[i-1][j]*(4*i-2)+yu;
         a[i][j]=t%10;
         yu=t/10;
        }
        while(yu)
        {
            a[i][++len]=yu%10;
            yu/=10;
        }
        for(int j=len;j>0;j--)
        {
            int p=a[i][j]+yu*10;
            a[i][j]=p/(i+1);
            yu=p%(i+1);
        }
        while(!a[i][len])
        {
            len--;
        }
        a[i][0]=len;
    }
}

void init()
{
    katelan();
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
       for(int j=a[i][0];j>=1;j--)
        printf("%d",a[i][j]);
       printf("\n");
    }
}

int main()
{
    init();
    return 0;
}



卡特兰是一种组合学中的列,常用于计一些具有特定结构的对象。其中,n个节点二叉树个数也可以用卡特兰进行计算。 首先,我们定义一个二叉树BST(n),其中n表示二叉树节点个数。我们可以发现,对于BST(0)来说,它是一棵空树,也是唯一的一种情况。对于BST(1),只有一个根节点,也是唯一的一种情况。对于BST(2),我们可以将根节点视为i,左子树中节点个数为i-1,右子树中节点个数为n-i,其中1<=i<=n。这样,我们可以通过递归的方式,将BST(n)的计算问题划分为求解BST(i-1)和BST(n-i)的计算问题,然后将二者的计算结果相乘,再将所有i从1到n的计算结果累加,即可得到BST(n)的结果。 这个过程可以表示为如下的递推公式: BST(0) = 1 BST(1) = 1 BST(n) = BST(0)*BST(n-1) + BST(1)*BST(n-2) + ... + BST(n-1)*BST(0),其中n>=2 通过计算我们可以发现,n个节点二叉树个数恰好对应了卡特兰C(n)的结果。因此,n个节点二叉树个数卡特兰。这是因为卡特兰的定义与BST(n)的递归公式相吻合,并且满足初始条件。卡特兰是一种具有递归性质的列,它在计算组合问题中经常出现。 总结起来,n个节点二叉树个数卡特兰,是通过递推公式BST(n) = BST(0)*BST(n-1) + BST(1)*BST(n-2) + ... + BST(n-1)*BST(0)以及初始条件得到的。卡特兰的计算结果能够准确表示n个节点二叉树个数,这与二叉树的特定结构有关。
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