傅里叶级数

傅里叶级数：非正弦函数的正弦展开

原创已于 2023-04-23 20:57:14 修改 · 241 阅读

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#学习 #傅立叶分析

于 2023-04-22 18:50:55 首次发布

傅里叶级数是将非正弦周期函数分解为多个正弦函数的线性组合，利用三角函数的正交性求解各系数，这一方法依赖于函数在特定区间上的积分计算。当函数满足狄利克雷充分条件时，可以进行傅里叶级数展开，最终形式包含正弦和余弦项，其中T为周期。

傅里叶级数解决的核心问题为：将一个非正弦周期函数用多个正弦函数的线性叠加表示。

公式 $f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_n \sin(n\omega t + \varphi_n)$ ，

其中 $A_0,A_n,\varphi_n (n=1,2,3,....)$ 为常数， $A_n$ 表示振幅， $\omega$ 表示角频率， $\varphi_n$ 表示初相。

该公式的作用就是将一个非正弦函数 $f(t)$ 用多个正弦函数 $A_n\sin(n\omega t + \varphi_n)$ 表示。

又由三角函数和差公式，将 $\sin(n\omega t + \varphi_n)$ 展开为 $A_n\sin(\varphi_n)\cos(n\omega t) + A_n\cos(\varphi_n)\sin(n\omega t)$ ，因为 $A_n\sin(\varphi_n), A_n\cos(\varphi_n)$ 为常数，所以令 $a_n = A_n\sin(\varphi_n), b_n = A_n\cos(\varphi_n)$ ，得到 $f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))$

现在公式中格格不入的只有 $A_0$ 了，所以要考虑用 $a_0$ 表示 $A_0$ ，也就是求 $a_n,A_0$ 。

在找寻该关系前，需要了解三角函数的系的正交性：

因此，对公式 $f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))$ 两边同时在 $[-\pi,\pi]$ 上求定积分，得 $\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt = \int_{-\pi}^{\pi}A_0dt + \sum_{n=1}^\infty[a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n\omega t)dt + b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin(n\omega t)dt]$ ，由三角函数系正交性得 $A_0 = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt}{2\pi}$ 。
接下来就是求出 $a_n$ （知道 $a_n$ 就知道 $a_0$ 了，又不能直接令n=0去求 $a_0$ ）。仍然是用三角函数系的正交性，要保留 $a_n$ ，就让 $f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))$ 两边乘以 $\cos(n\omega t)$ ，使得在 $[-\pi,\pi]$ 上积分后让有 $a_n$ 的那一项保留。所以对等式两边同时求积分，得到 $a_n = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(n\omega t)}{\pi}$ .步骤总令n=0，得到 $a_0 = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt}{\pi} = 2A_0$ 。

同理 $b_n = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(n\omega t)dt}{\pi}$ 。又因为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ ，所以将 $a_n, b_n$ 的公式变形为 $a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\omega t)dt,b_n= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\omega t)dt$

所以得到了傅里叶级数的终极形态

$f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))$

其中 $a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\omega t)dt,b_n= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\omega t)dt$ （T=2π）