傅里叶级数解决的核心问题为:将一个非正弦周期函数用多个正弦函数的线性叠加表示。
公式
,
其中
为常数,
表示振幅,
表示角频率,
表示初相。
该公式的作用就是将一个非正弦函数用多个正弦函数
表示。
又由三角函数和差公式,将展开为
,因为
为常数,所以令
,得到
现在公式中格格不入的只有了,所以要考虑用
表示
,也就是求
。
在找寻该关系前,需要了解三角函数的系的正交性:

- 因此,对公式
两边同时在
上求定积分,得
,由三角函数系正交性得
。
- 接下来就是求出
(知道
就知道
了,又不能直接令n=0去求
)。仍然是用三角函数系的正交性,要保留
,就让
两边乘以
,使得在
上积分后让有
的那一项保留。所以对等式两边同时求积分,得到
.步骤总
令n=0,得到
。
同理。又因为
,所以将
的公式变形为
所以得到了傅里叶级数的终极形态
其中
(T=2π)

在f(x)满足狄利克雷充分条件时,f(x)才可以展开为傅里叶级数。