傅里叶级数

傅里叶级数是将非正弦周期函数分解为多个正弦函数的线性组合,利用三角函数的正交性求解各系数,这一方法依赖于函数在特定区间上的积分计算。当函数满足狄利克雷充分条件时,可以进行傅里叶级数展开,最终形式包含正弦和余弦项,其中T为周期。

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傅里叶级数解决的核心问题为:将一个非正弦周期函数用多个正弦函数的线性叠加表示。  

公式    f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_n \sin(n\omega t + \varphi_n)    ,

其中A_0,A_n,\varphi_n (n=1,2,3,....)为常数,A_n表示振幅,\omega表示角频率,\varphi_n表示初相。 

该公式的作用就是将一个非正弦函数f(t)多个正弦函数A_n\sin(n\omega t + \varphi_n)表示。 

又由三角函数和差公式,将\sin(n\omega t + \varphi_n)展开为A_n\sin(\varphi_n)\cos(n\omega t) + A_n\cos(\varphi_n)\sin(n\omega t),因为A_n\sin(\varphi_n), A_n\cos(\varphi_n)为常数,所以令a_n = A_n\sin(\varphi_n), b_n = A_n\cos(\varphi_n),得到f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))

现在公式中格格不入的只有A_0了,所以要考虑用a_0表示A_0,也就是求a_n,A_0

在找寻该关系前,需要了解三角函数的系的正交性

来自同济大学高等数学第七版

  •  因此,对公式f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))两边同时在[-\pi,\pi]上求定积分,得\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt = \int_{-\pi}^{\pi}A_0dt + \sum_{n=1}^\infty[a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n\omega t)dt + b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin(n\omega t)dt],由三角函数系正交性得A_0 = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt}{2\pi}
  • 接下来就是求出a_n(知道a_n就知道a_0了,又不能直接令n=0去求a_0)。仍然是用三角函数系的正交性,要保留a_n,就让f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))两边乘以\cos(n\omega t),使得在[-\pi,\pi]上积分后让有a_n的那一项保留。所以对等式两边同时求积分,得到a_n = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(n\omega t)}{\pi}.步骤总令n=0,得到a_0 = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt}{\pi} = 2A_0

同理b_n = \frac{\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(n\omega t)dt}{\pi}。又因为T = \frac{2\pi}{\omega},所以将a_n, b_n的公式变形为a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\omega t)dt,b_n= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\omega t)dt

所以得到了傅里叶级数的终极形态

f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))

 其中a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\omega t)dt,b_n= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\omega t)dt(T=2π)

来自同济大学高等数学第七版

 在f(x)满足狄利克雷充分条件时,f(x)才可以展开为傅里叶级数。

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