傅里叶积分

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已于 2023-04-25 22:13:05 修改

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文章标签：傅里叶分析

于 2023-04-25 19:54:50 首次发布

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傅里叶积分公式的推导过程

傅里叶级数公式 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)]$ ,

其中 $a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(x)\cos(n\omega x)dx,b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(x)\sin(n\omega x)dx$ 。

已知欧拉公式 $e^i^x=\cos(x) + i\sin(x)$ ，所以 $\cos(x) = \frac{e^i^x+e^{-ix}}{2},\sin(x) = \frac{-i(e^{ix}-e^{-ix})}{2}$ .
带入 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)]$ 得 $f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega x}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega x}]$

令 $C_0 = \frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$ , $C_n = \frac{a_n-ib_n}{2}[\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)dx-i\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)dx]=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in\omega x}dx,n=1,2,....$

$C_{-n} = \frac{a_n+ib_n}{2}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{in\omega x}dx,n=1,2,...$ .
$C_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in\omega x}dx,n=\pm1,\pm2,....$ .

令 $\omega_n = n\omega,(n=0,\pm1,\pm2,...)$ ,得到傅里叶级数的复指数形式： $f(x) = C_0+\sum_{n=1}^{\infty}(C_ne^{i\omega_nx}+C_{-n}e^{-i\omega_nx}) = \sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^i\omega_nx,n=\pm1,\pm2,...$ 。
或将得 $C_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in\omega x}dx,n=\pm1,\pm2,....$ 带入得 $f(x) = \frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f(\tau)e^{-i\omega_nx}d\tau]e^{i\omega_nx},n=\pm1,\pm2,...$ .（T=2π）

周期函数可以展开成傅里叶级数，那么非周期函数呢?能否用一个周期函数逼近一个非周期函数呢？
一般而言，任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个周期函数 $f_T(x)$ 当周期T → +∞时转化而来的.
Proof: 作周期为T的函数 $f_T(x)$ ，使其在 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 之内等于f(x)，在 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 之外按周期为T的函数 $f_T(x)$ 延拓出去。

即为 $f_T(x) = f(x), x\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ ， $f_T(x) = f_T(x+T), x\notin[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ .

则T越大， $f_T(x)$ 与 $f(x)$ 相等的范围越大，则当 $T\rightarrow \infty$ 时， $f_T(x)$ 可以转换为 $f(x)$ ，即为 $\lim_{T\rightarrow\infty} f_T(x) = f(x)\Rightarrow f(x) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f_T(\tau)e^{-i\omega_n\tau}d\tau]e^{i\omega_nx}$ .

当n取一切N时， $\omega_n$ 所对应的点能均匀的分布在整个数轴上。

若取相邻的距离 $\triangle \omega = \omega_n-\omega_{n-1}=\frac{2\pi}{T}\Rightarrow T = \frac{2\pi}{\triangle\omega}$ ，当 $T\rightarrow \infty$ ，有 $\triangle \omega \to 0$ 。

将 $T = \frac{2\pi}{\triangle\omega}$ 带入 $f(x) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f_T(\tau)e^{-i\omega_n\tau}d\tau]e^{i\omega_nx}$ 得到 $f(x) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f_T(\tau)e^{-i\omega_n\tau}d\tau]e^{i\omega_nx}\triangle \omega$ 。

当x固定时， $\frac{1}{2\pi}[\int_{-T/2}^{T/2}f_T(\tau)e^{-i\omega_n\tau}d\tau]e^{i\omega_nx}\triangle \omega$ 就为 $\omega$ 的函数，即为 $\phi_T(\omega)$ ,即为 $\phi_T(\omega)=\frac{1}{2\pi}[\int_{-T/2}^{T/2}f_T(\tau)e^{-i\omega_n\tau}d\tau]e^{i\omega_nx}\triangle \omega$ .得到 $f(x) = \lim_{\triangle \omega\to0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\phi_T(\omega_n)\triangle\omega$ 。

$\triangle\omega\to0,T\to\infty$ ，有 $\phi_T(\omega_n)\to\phi(\omega)$ .此处 $\phi(\omega)=\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau]$ 。

所以f(x)可以看成是 $\phi(\omega)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的积分 $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(\omega)d\omega$ ,即为 $f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau]e^{i\omega x}d\omega$ (傅里叶积分公式)。

傅里叶积分公式用欧拉公式变为三角形式的傅里叶积分
$e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$
$f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)cos(\omega)(x-\tau)d\tau]d\omega$