傅里叶分析—傅里叶级数

名字起得很大。本文介绍Fourier级数、Fourier变换等基本数学概念及概念背后对应的物理意义。

一、傅里叶分析简介

    

       展开成傅里叶级数的基本目的是要把一个信号(时间变量t的函数)分解为不同的频率分量。这些基本的构造块是正弦函数和余弦函数

   sin(nt)    cos(nt)

       例如，考察下面的函数：f(t) = sin(t) + 2cos(3t) + 0.3sin(50t)

该函数有三个分量，其振荡频率为:1[sin(t)部分] 3[2cos(3t)部分]  50[0.3sin(50t)部分]。

       信号分析中要解决的一个常见问题是：滤除噪声。例如，播放录音磁带时所特有的嘶嘶背景声就是一个高频(声音)噪声，有多种设备可以部分滤除它。0.3sin(50t)这部分造成了图1中f曲线的抖动，令系数0.3等于0，得到函数：f(t)=sin(t)+2cos(3t)

其图像除了没有高频抖动以外，与图1几乎一样。

       这个例子显示了一个滤除噪声的方法，该方法就是把信号f(t)用正弦和余弦信号展开：

然后令与滤波频率相应的系数an、bn等于0。本例当中信号f已经表示成正弦和余弦的和的形式，所以处理过程很容易。然而，大多数信号不是以这种方式表示的。研究傅里叶级数的目的之一，就是要研究如何有效地把一个函数分解成正弦和余弦的分量之和，以便接着实现各种滤波算法。

二、傅立叶变换分类

       根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 

1	非周期性连续信号	傅立叶变换（Fourier Transform）
2	周期性连续信号	傅立叶级数(Fourier Series)
3	非周期离散信号	离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4	周期性离散信号	离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

下图是四种原信号图例：

三、傅立叶级数的计算

3.1.1 在区间上

该定理可以等价为集合

                                       

                                                                                                                    是L2([-π,π])上的正交函数系。

应用定理1.1就可以计算傅立叶级数的系数，得如下定理：

3.1.2 其他区间

3.2 余弦和正弦展开

下面是很有意思的一部分：偶延拓与奇延拓

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傅里叶级数的图像，可以看出可以很好得拟合原始函数

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另一个例子：

3.3 傅里叶级数的复数形式

简要叙述：

3.4 傅里叶级数的收敛定理

简单罗列部分定理，在实际应用中，基本都满足收敛条件。

该定理说明：随着k增大，傅里叶系数ak和bk收敛于0。

连续点处的收敛定理：

不连续点处<但需要有左右极限存在>的收敛定理：

一致收敛性：

依平均收敛：

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References：

1.小波与傅里叶分析基础

   <这本书写得不错，很注重直观理解，但是缺少物理层面上的解释>

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