LeetCode 96: Unique Binary Search Trees

Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

解题思路

本题求的是有 $n$ 个结点的二叉树共有多少种不同的结构。

思路一：当有 $0$ 或 $1$ 个节点时，二叉树只有一种形状。当 $n \ge 1$ 时，枚举左子树节点数依次为 $0, 1, \ldots, {n-1}$ 时的情况进行递归求解，并将每一种情况下的结果累加即可。基本代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        // 节点数小于等于1时只能形成一种形状的二叉树
        if (n <= 1) return 1;

        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 枚举二叉树的左右节点数，递归；结果相乘
            sum += (numTrees(i-1) * numTrees(n-i));
        }
        return sum;
    }
};

思路二：不难发现上述思路存在许多重复计算的情况，可以使用动态规划进行优化。维护一个数组 $dp[]$，其中 $dp[i]$ 表示有 $i$ 个结点时能产生的二叉搜索树的个数，则 $dp[]$ 存在如下的递推关系：

$$dp[i] = \begin{cases} 1, & \text{if $n = 0$ or $n = 1$} \\ \sum^{i-1}_{j=0}{dp[j] * dp[i - j - 1]}, & \text{if $n \ge 2$} \end{cases}$$

代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int dp[n+1];

        dp[0] = dp[1] = 1; // 节点数小于等于1时只能形成一种形状的二叉树

        // 依次求出结点数为2, ..., n时可以形成的二叉树个数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = 0;
            // 枚举二叉树的左右节点数，递归；结果相乘
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += (dp[j] * dp[i-j-1]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};