动态规划题目--数塔（HDU）

最新推荐文章于 2024-08-31 19:39:42 发布

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本文通过解决数塔问题介绍了动态规划的基本思想。通过对比贪心算法，展示递归及递推方法找到从数塔顶部到底部路径的最大和。提供了一个Java实现的例子。

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因为之前没有怎么接触过算法，在赛码网上刷题，碰上了动态规划类的题目。正好借此机会系统的学习一下。

在哔哩哔哩上看算法视频，里面讲解了一道HDU上的题目，下面贴下题目描述：

ime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 36261 Accepted Submission(s): 21659

Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

Sample Output

解题思路:在不了解动态规划题目之前，应该首先想到的就是贪心吧，从顶想下，每次找最大的。经过测试，得到的结果为26。不如给出的样例结果大，贪心算法宣告失败。

递归的思路比较好想：顺着题目，我们从上往下看。第一层的节点没有什么好说的，他只有一个，但是到了第二层，节点就变成了两个。这就遇到了一个“选还是不选“的问题。假如我们选了第一个节点，而不选第二个节点。问一下自己，为什么不选第二个节点？当然是第一个节点的值大呗（注意了，上一段中我们已经说了，贪心的方法行不通，所以这里的”值大“代表经过处理后的值，怎么处理。。。下面讲）。同样的方法，继续进行第3，4，···n-1层的选择处理，到了第n层（递归的出口），选出较大的节点值，然后在进行回溯，就解决了。

经过递归思路的分析，注意到第n-1层依赖于第n层。所以我们只需将第n-1层各节点中子节点的最大值加上他们本身即可。如此向上处理。第一层的那个节点的值就是我们求的最大值。这里用的是递推的思想：从底向下分析。

代码：

import java.util.*;

public class Main {
    public static int dp_numberta(int[][] arr,int n){

        for(int i=n-2;i>=0;i--){
            for(int j=0;j<=i;j++){
                arr[i][j] = Math.max(arr[i+1][j],arr[i+1][j+1])+arr[i][j];
            }
        }
        return arr[0][0];
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        for(int k = 0;k<n;k++){
            int N = sc.nextInt();
            int[][] arr = new int[N][N];
            for(int i=0;i<N;i++){
                for (int j=0;j<=i;j++){
                    arr[i][j] = sc.nextInt();
                }
            }
            System.out.println(dp_numberta(arr,N));
        }

    }
}