MATLAB实现基于RPCA的图像稀疏低秩分解

MATLAB实现基于RPCA（鲁棒主成分分析）的图像稀疏低秩分解

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一、核心算法实现

function [L,S] = RPCA_ADMM(img, lambda, mu, rho, max_iter, tol)
    % 输入参数：
    % img: 输入图像（灰度图像）
    % lambda: 稀疏正则化参数（默认1/sqrt(max(size(img))))
    % mu: 初始惩罚参数（默认1.0）
    % rho: 增广拉格朗日参数（默认1.2）
    % max_iter: 最大迭代次数（默认1000）
    % tol: 收敛阈值（默认1e-7）
    
    [m,n] = size(img);
    L = zeros(m,n);
    S = zeros(m,n);
    Y = zeros(m,n);
    mu_bar = 1e6;  % 最大惩罚参数
    
    % 初始化参数
    if nargin < 2
        lambda = 1 / sqrt(max(m,n));
    end
    if nargin < 3
        mu = 1.0;
    end
    if nargin < 4
        rho = 1.2;
    end
    if nargin < 5
        max_iter = 1000;
    end
    if nargin < 6
        tol = 1e-7;
    end
    
    % 主迭代循环
    for iter = 1:max_iter
        % 更新低秩矩阵L（奇异值阈值）
        temp = img - S + Y/mu;
        [U,Sigma,V] = svd(temp,'econ');
        diagS = diag(Sigma);
        svp = sum(diagS > 1/mu);
        
        if svp < min(m,n)/2
            L = U(:,1:svp) * diag(diagS(1:svp)-1/mu) * V(:,1:svp)';
        else
            L = U * diag(diagS - 1/mu) * V';
        end
        
        % 更新稀疏矩阵S（软阈值）
        temp = img - L + Y/mu;
        S = max(temp - lambda/mu, 0) + min(temp + lambda/mu, 0);
        
        % 更新拉格朗日乘子Y
        Y = Y + mu*(img - L - S);
        
        % 自适应调整惩罚参数
        mu = min(mu*rho, mu_bar);
        
        % 收敛判断
        primal_residual = norm(img - L - S, 'fro');
        dual_residual = rho * norm(S - (S_prev), 'fro'); 
        if primal_residual < tol && dual_residual < tol
            break;
        end
        S_prev = S;
    end
end

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二、关键参数解析

参数	推荐值	作用说明
lambda	1/√(max(m,n))	控制稀疏项强度
mu	1.0（动态调整）	增广拉格朗日惩罚参数
rho	1.2-1.5	收敛加速因子
max_iter	500-2000	最大迭代次数
tol	1e-5-1e-7	相对误差容忍度

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三、完整应用示例

% 读取并预处理图像
img = imread('lena.jpg');
img_gray = rgb2gray(img);
img_gray = im2double(img_gray);

% 参数设置
lambda = 1/sqrt(max(size(img_gray)));
mu = 1.0;
rho = 1.2;
max_iter = 1000;
tol = 1e-7;

% 执行RPCA分解
tic;
[L,S] = RPCA_ADMM(img_gray, lambda, mu, rho, max_iter, tol);
toc;

% 可视化结果
figure;
subplot(1,3,1); imshow(img_gray); title('原始图像');
subplot(1,3,2); imshow(L); title('低秩部分（背景）');
subplot(1,3,3); imshow(S); title('稀疏部分（细节/噪声）');

% 重构图像
reconstruction = L + S;
figure;
subplot(1,2,1); imshow(img_gray); title('原始图像');
subplot(1,2,2); imshow(reconstruction); title('RPCA重构图像');

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四、应用场景与效果

1. 背景建模

• 实现流程： 对视频帧序列构建数据矩阵 分解得到静态背景（低秩部分） 动态前景（稀疏部分）用于目标检测

2. 医学影像增强

• 预处理：对MRI/PET图像进行RPCA分解
• 后处理：低秩部分用于病灶区域增强，稀疏部分抑制运动伪影

3. 遥感图像修复

• 流程：

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五、结果评估指标

1. 重构误差：

   error = norm(img - (L+S),'fro') / norm(img,'fro');
   

   目标值：<5%

2. 低秩保持率：

   rank_ratio = rank(L) / rank(img);
   

   典型值：>90%

3. 稀疏度：

   sparsity = nnz(S) / numel(S);
   

   目标值：<5%

六、参考

1. 代码 对图像进行稀疏低秩分解，使用RPCA算法 www.youwenfan.com/contentcsk77963.html

2. Wright J, Ganesh A, Rao S, et al. Robust principal component analysis: Exact recovery of corrupted low-rank matrices via convex optimization[C]//CVPR. 2009.