48、高斯整数：代数数论的入门之旅

高斯整数：代数数论的入门之旅

1. 引言

在数论的研究中，我们通常关注整数的各种性质，如可除性、素性和分解等。然而，数论的一个迷人之处在于，许多关于整数的基本性质可以推广到其他数集。本文将深入探讨高斯整数，即形如 (a + bi) 的复数，其中 (a) 和 (b) 是整数，(i = \sqrt{-1})。我们将介绍高斯整数的可除性概念，建立适用于它们的除法算法，定义高斯素数，并探讨如何将高斯整数唯一地表示为高斯素数的乘积。此外，我们还将展示如何利用高斯整数来确定一个正整数可以表示为两个平方数之和的方式。

2. 复数基础回顾

2.1 复数的运算规则

复数是形如 (x + yi) 的数，其中 (x) 和 (y) 是实数，(i = \sqrt{-1})。复数的加法、减法、乘法和除法规则如下：
- 加法：((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)
- 减法：((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i)
- 乘法：((a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)
- 除法：(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{-ad + bc}{c^2 + d^2}i)

需要注意的是，复数的加法和乘法满足交换律和结合律。此外，如果 (a + bi) 和 (c + di)