21、特殊同余与素性测试：从理论到实践

特殊同余与素性测试：从理论到实践

1. 特殊同余问题与编程项目

在数论的研究中，有一些特殊的同余问题和相关的编程项目值得我们深入探讨。

首先，有几个具体的问题需要解决。例如，我们可以使用Pollard p - 1方法的变体来找出几个不同的六位奇数的因数。同时，我们还需要验证一个猜想：当n为合数时，(1^{n - 1}+2^{n - 1}+3^{n - 1}+\cdots+(n - 1)^{n - 1}\not\equiv - 1(\bmod n))。

相关的编程项目也很有意义：
- 找出小于给定正整数n的所有威尔逊素数。
- 找出小于给定正整数n的素数p，使得(2^{p - 1}\equiv1(\bmod p^{2}))。
- 通过费马小定理求解具有素数模的线性同余方程。
- 使用Pollard p - 1方法找出给定正整数n的一个因数。
- 使用Pollard p - 1方法的变体（来自特定练习）找出给定正整数n的一个因数，不断改变底数和界限，直到找到一个因数。

2. 伪素数的概念与性质

费马小定理告诉我们，如果n是素数，b是任意整数，那么(b^{n}\equiv b(\bmod n))。反之，如果能找到一个整数b，使得(b^{n}\not\equiv b(\bmod n))，那么n就是合数。例如，对于(n = 63)，我们有(2^{63}=2^{60}\cdot2^{3}=(2^{6})^{10}\cdot2^{3}=64^{10}\cdot2^{3}\equiv2^{3}\equiv8\not\equiv2(\bmod 63))，所以63不是素数。

然而，费马小