38、数论中的重要定理与未解决问题探索

数论中的重要定理与未解决问题探索

一、中国剩余定理

1.1 广义中国剩余定理

模运算的用途广泛，不仅仅局限于降低计算机成本，在哈希实现等方面也有应用。广义中国剩余定理指出，若有一组最大公约数为 1 的正整数集合 @bases ，以及一个未知整数 $x ，当已知 $x 除以集合中每个整数的余数（即 $x % $base[0] ， $x % $base[1] 等）时，在假设 $x 被限制在不大于 @bases 的最小公倍数的连续整数范围内，就可以计算出 $x 的值。

通过一个古老的谜题来理解：一位老妇人去市场，鸡蛋被马踩碎，她不记得鸡蛋的确切数量，但每次拿 2 个、3 个、4 个、5 个、6 个时都剩 1 个，每次拿 7 个时刚好拿完。用模运算表示为：

$x mod 2 = 1
$x mod 3 = 1
$x mod 4 = 1
$x mod 5 = 1
$x mod 6 = 1
$x mod 7 = 0

广义中国剩余定理表明这样的 $x 最多只有一个，但未给出具体值。可以通过搜索 0 到 420（2 到 7 的最小公倍数）的范围来求解，代码如下：

sub general_chinese {
    use int