12、算术基本定理：整数的乘法基石

算术基本定理：整数的乘法基石

1. 算术基本定理概述

算术基本定理是一个重要的结果，它表明质数是整数乘法的基本构建块。该定理指出，每个大于 1 的正整数都可以唯一地写成质数的乘积，且这些质因数按非递减顺序排列。有时，该定理会扩展到整数 1，即 1 被认为是质数的空积。

例如：
- (240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5)
- (289 = 17 \cdot 17 = 17^2)
- (1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13)

为了方便，我们通常将特定质数的所有因数合并为该质数的幂，这种将质数因数合并为幂的整数分解称为质幂分解。

2. 相关引理

2.1 引理 4.2（欧几里得引理）

如果 (a)、(b) 和 (c) 是正整数，且 ((a, b) = 1)（即 (a) 和 (b) 互质），并且 (a \mid bc)（(a) 整除 (bc)），那么 (a \mid c)。

证明：
因为 ((a, b) = 1)，根据贝祖定理，存在整数 (x) 和 (y) 使得 (ax + by = 1)。
两边同时乘以 (c)，得到 (acx + bcy = c)。
由于 (a) 整除 (acx) 和 (bcy)（因为 (a \mid acx) 且 (a \mid bc)），所以 (a) 整除它们的线性组合 (acx + bcy)，即 (a \mid c)。

2.2 引理 4.3

如果质数 (p)