基于函数替换的双线性规划优化

原创于 2025-10-19 04:38:51 发布 · 816 阅读

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#全局优化 #双线性规划 #混合整数规划 #凸包络 #分段线性

基于函数替换的双线性规划全局优化

摘要

本文提出了一种基于将双线性项转化为单变量初等函数的双线性规划全局优化方法。该替换方法将双线性项转移至附加的等式约束中。通过取对数运算分离这些约束中的复杂变量，最终通过对数线性约束的分段线性逼近和/或线性化进行松弛。
该变换生成了一个下界混合整数线性规划，与原始双线性规划结合用于全局优化算法中。该方法通过文献中的池问题进行了测试，所有测试问题均获得了全局最优解；然而，要使所提出的方案在计算上更高效，还需要更复杂的算法设计。

关键词 ：全局优化，双线性规划，算法，初等函数，混合整数规划。

1. 引言

双线性规划的全局优化是优化领域中一项持续进行的研究工作。它在涉及水网络以及石油混合操作优化的应用中具有重要作用（艾哈迈托维奇和格罗斯曼，2010；米森纳和弗洛达斯 2009，法里亚和巴加耶维奇，2012）。目前对双线性问题进行全局优化的常用方法基于凸包络（麦考密克，1976），并结合空间分支定界搜索策略。一些更高效的算法通过引入更紧的凸松弛，采用对双线性项的分段线性松弛（卡鲁皮亚和格罗斯曼 2006，迈耶和弗洛达斯 2006）。Kolodziej 等.（2013）提出了 Teles 等.（2001）提出的多参数分解技术的推导过程，用于求解非凸双线性规划。作者所推导出的松弛方法在规模扩展方面优于依赖分段麦考密克包络的松弛方法。最后，Misener 等.（2011）提出了一种利用分段麦考密克包络对双线性项建模的松弛方法，该方法确保分段公式所需的二元变量数量随分段线性松弛中段数的增加呈对数增长。
在本研究中，我们专注于双线性问题的全局优化，其中双线性项是唯一非线性和非凸性的来源。本文的主要创新点在于通过单变量对数函数的凸包络来构建一个下界问题的表述。我们提出了一种简单算法，用于缩小原始非凸模型（作为上界问题）与其下界对应问题之间的间隙。最后，我们展示了数值研究的结果并进行了讨论。

2. 方法论

考虑如下形式的双线性规划问题（BLP）：

$$
\begin{aligned}
\min_{x,y} \quad & c^T x + d^T y \
\text{s.t.} \quad & A x + B y \leq b \
& x \in X, \quad y \in Y
\end{aligned}
$$

其中 $ x \in \mathbb{R}^{n_x} $, $ y \in \mathbb{R}^{n_y} $, 集合 $ X $ 和 $ Y $ 为闭凸集（通常为多面体），目标函数和约束中的非线性项表现为双线性形式 $ x_i y_j $。假设双线性项是模型中唯一的非线性和非凸成分。

2.1 函数替换策略

我们引入一个新的变量 $ z_{ij} = \ln(x_i y_j) $ 来替代每一个双线性项 $ w_{ij} = x_i y_j $。通过取对数，可以将乘积分解为：

$$
z_{ij} = \ln x_i + \ln y_j
$$

此变换将原始双线性项转移到一个附加的等式约束中：

$$
w_{ij} = \exp(z_{ij}) = \exp(\ln x_i + \ln y_j)
$$

因此，原问题被重构为包含指数函数和对数函数的新形式，其中非线性仅出现在这些单变量初等函数中。

2.2 对数线性约束的松弛

由于 $ \ln x_i $ 和 $ \ln y_j $ 在定义域内是凹函数，其凸包络可用于构造下界逼近。对于每个 $ \ln x_i $，在其可行区间 $[x_i^L, x_i^U]$ 上采用分段线性逼近，使用一组断点 ${x_{i,k}}_{k=1}^{K_i}$ 构造凸包络。类似地处理 $ \ln y_j $。

由此得到的对数项被其凸包络代替，而指数项 $ \exp(z_{ij}) $ 则用其凹包络进行上界逼近，从而在整个结构中形成一个混合整数线性规划（MILP）松弛模型，作为原问题的下界估计。

2.3 下界模型构建

通过上述替换与松弛，原始非凸问题被转化为如下形式的MILP：

$$
\begin{aligned}
\min \quad & c^T x + d^T y \
\text{s.t.} \quad & A x + B y \leq b \
& \tilde{z} {ij} \geq \text{conv}(\ln x_i) + \text{conv}(\ln y_j) \
& w {ij} \leq \text{conc}(\exp(\tilde{z} {ij})) \
& x \in X, \; y \in Y, \; w {ij} \approx x_i y_j
\end{aligned}
$$

其中 $\text{conv}(\cdot)$ 表示凸包络，$\text{conc}(\cdot)$ 表示凹包络，$ \tilde{z}_{ij} $ 是辅助变量。该MILP提供原BLP问题的一个有效下界。