11、不相交双线性规划的混合整数线性规划简化：基于符号变量消元法

不相交双线性规划的混合整数线性规划简化：基于符号变量消元法

1. 引言

不相交约束双线性规划（DBLP）在实际和工业领域有着广泛的应用，例如博弈论、设施选址、供应链管理和多智能体规划问题等。虽然之前的研究从抽象理论角度指出了 DBLP 与混合整数线性规划（MILP）的等价性，但将 DBLP 实际且精确地简化为 MILP 的封闭形式一直是个难题。这种明确的简化方法能让我们利用现代 MILP 求解器及其技术，同时保证解的最优性和近似性。

DBLP 的正式定义如下：
[
\begin{align }
\min_{x,y} f(x, y) &= c^{\top}x + x^{\top}Qy + d^{\top}y \
\text{s.t. } a_{i}^{\top}x &\leq a_{i} \quad \forall i \in I \
b_{j}^{\top}y &\leq b_{j} \quad \forall j \in J \
x_{k} &\geq 0 \quad \forall k \in K \
y_{l} &\geq 0 \quad \forall l \in L \
x_{m} &\in {0, 1} \quad \forall m \in M \
y_{n} &\in {0, 1} \quad \forall n \in N
\end{align }
]
其中，(I) 和 (J) 是线性约束的索引集，(K)、(L) 分别是连续变量的索引集，(M)、(N) 分别是二进制变量的索引集。设 (n