27、周期序列中的魔法数字探索

周期序列中的魔法数字探索

1. 周期序列的秩与示例

在研究周期序列时，秩是一个关键概念。对于周期序列集合 Per(ℓ) 中的每个可能的秩值，我们可以找到对应的序列。以 Per(7) 为例，如下表所示：
| d | rank | 3d mod 7 | Z/(7Z) 的划分 | 周期 |
| — | — | — | — | — |
| 6 | 42 | 1 | {0},{1},{2},{3},{4},{5},{6} | (0,1,2,3,4,5,6) |
| 3 | 21 | 6 | {0},{1,6},{2,5},{3,4} | (0,1,2,3,3,2,1) |
| 2 | 14 | 2 | {0},{1,2,4},{3,5,6} | (0,1,1,2,1,2,2) |
| 1 | 7 | 3 | {0},{1,2,3,4,5,6} | (0,1,1,1,1,1,1) |

这里，对于 ord₇(3) = 6，魔法数字集合为 {7d : d ∈ Div(ord₇(3))} = {7, 14, 21, 42}。

Neder 曾猜想，如果 sₗ 是周期为 (0, 1, …, ℓ - 1) 的序列，那么 “rank₂(sₗ) ≤ ℓ(ℓ - 1)，当且仅当 ℓ 是具有原根 2 的素数时取等号”。原根是指对于素数 ℓ，存在整数 k 使得 ordₗ(k) = ℓ - 1。该猜想在 k ≠ 2 时也成立。

2. 常递归序列

一个整数序列 s 是常递归的，如果存在 c₀, c₁, …, c₍d - 1₎ ∈ Z（d ∈ N 且 c₀ ≠ 0），使得对于所有 n ≥ 0，有：
s(n