18、正则Arnoux - Rauzy序列的临界指数及2 - 平衡序列研究

正则Arnoux - Rauzy序列的临界指数及2 - 平衡序列研究

正则AR序列双特殊因子长度公式

对于正则 $d$ 元AR序列，我们可以得到其主、次双特殊因子长度的公式。设 $u$ 是斜率为 $\theta = (a_N) {N\geq0}$ 的正则 $d$ 元AR序列，$(Q_N) {N\geq0}$ 是推论12中的序列，$N$、$m$ 为非负整数且 $0 \leq m < a_{N + 1}$，$b$ 是与 $(N, m)$ 相关联的双特殊因子，则其长度公式为：
[|b| = \frac{1}{d - 1}\left((1 + (d - 1)m)Q_N + \sum_{i = 1}^{d - 1}((d - i - 1)a_{N - i + 1} + 1)Q_{N - i} - d\right)]
例如，当 $d = 2$ 时，若 $Q_{-2} = Q_{-1} = Q_0 = 1$，$Q_1 = 3$，$Q_2 = 6$，对于不同的 $(N, m)$ 组合，双特殊因子长度计算如下：
|$(N, m)$|双特殊因子长度计算|结果|
| ---- | ---- | ---- |
|$(0, 1)$|$\frac{1}{2}(3Q_0 + Q_{-1} + Q_{-2} - 3)$|$1$|
|$(1, 0)$|$\frac{1}{2}(Q_1 + 3Q_0 + Q_{-1} - 3)$|$2$|
|$(2, 0)$|$\frac{1}{2}(Q_2 + 2Q_1 + Q_0 - 3)$|$5$|

正则AR序列的（渐近）临界指数

利用定理2和相关内容，我们可以推导出正则AR