17、字符串吸引子与正则Arnoux - Rauzy序列的临界指数

字符串吸引子与正则Arnoux - Rauzy序列的临界指数

1. 引言

在组合数学领域，序列的临界指数是一个被广泛研究的课题。Krieger和Shallit证明了大于1的每个实数都是某个序列的临界指数。1972年，Dejean猜想给出了固定大小字母表上序列的最小临界指数的值，经过多年的共同努力，该猜想在2011年得到证明。

本文旨在推导基于S - 进表示的正则d元Arnoux - Rauzy（AR）序列的（渐近）临界指数公式。在二元字母表上，该公式与基于S - 进表示的Sturmian序列的著名公式一致。同时，我们将证明在正则d元AR序列中，最小（渐近）临界指数由d - 波那契序列达到。

2. 预备知识

• 字母表与单词 ：字母表A是一个有限集，其元素称为字母。长度为n的单词u是字母的有限字符串，记为u = u₀u₁···uₙ₋₁，长度记为|u|。所有有限单词的集合记为A ，A 与连接操作构成一个幺半群，空单词ε为中性元素。
• 序列与因子 ：序列u是字母的无限字符串，记为u = u₀u₁u₂···。序列u的因子y是一个有限单词，满足y = uᵢuᵢ₊₁···uⱼ₋₁。语言L(u)是序列u中出现的所有因子的集合。
• 特殊因子 ：右特殊因子w满足wa, wb∈L(u)（a, b为不同字母），左特殊因子定义类似，既是左特殊又是右特殊的因子称为双特殊因子。
• 序列性质 ：如果序列u的每个因子都有无限多个出现，则称u是