52、无限二进制无重叠词与广义回文丰富词的研究

无限二进制无重叠词与广义回文丰富词的研究

1. 无限二进制无重叠词

在无限二进制无重叠词的研究中，有几个重要的结论和概念。

1.1 自动机编码

存在一个自动机（如图 1 所示）用于编码无限二进制无重叠词。每个无限二进制无重叠词 (x) 都可以由从状态 (A) 开始的无限路径编码。具体规则如下：
- 自动机中不终止于 (0^{\omega}) 的无限路径编码唯一的无限二进制无重叠词 (x)。
- 若路径 (i) 终止于 (0^{\omega})，且该后缀对应状态 (A) 上的循环或状态 (B) 和 (D) 之间的循环，则 (x) 由 (i; 1) 或 (i; 3) 编码。
- 若路径 (i) 终止于 (0^{\omega})，且该后缀对应状态 (J) 和 (K) 之间的循环，则 (x) 由 (i; 1) 编码。
- 若路径 (i) 终止于 (0^{\omega})，且该后缀对应状态 (G) 和 (H) 之间的循环，则 (x) 由 (i; 3) 编码。

由此可得推论：集合 (A, B, \cdots, K) 都是不可数的。以集合 (K) 为例，集合 (K) 中的元素对应图 1 中离开状态 (K) 的无限路径。可以通过 ({13010, 1301000}^{\omega}) 产生不可数的不同路径。

1.2 字典序最小的无重叠词

字典序最小的无限二进制无重叠词是 (001001t)。证明过程如下：
设 (x) 是字典序最小的无限词，(y) 是其编码。
- (y[1]) 必须为 2，因为其他选择编码的词以 (01) 或字典序更大的内容开头。
- 选择 (