三大指数平滑法

三大指数平滑法

指数平滑法其实是特殊的移动平均法，相当于加权的移动平均法。针对当期实际值和当期预测值，引入一个简单化的加权因子，也就是平滑系数，来求解下期的预测值。主要有三种指数平滑法：简单指数平滑法、霍尔特指数平滑法、霍尔特-温特模型。

1、简单指数平滑法

1.1 模型介绍

简单指数平滑法：设第 $t$ 期实际值为 $X_t$，预测值为 $F_t$，平滑系数为 $\alpha$，则第 $t+1$ 期预测值为 $$F_{t+1}=\alpha X_t+(1-\alpha )F_t(1)$$ 或 $$F_{t+1}=F_t+\alpha (X_t-F_t)(2)$$
第 $t+1$ 期的预测值 $F_{t+1}$ 可以解释为：其中一部分来自第 $t$ 期实际值 $X_t$，剩余部分来自第 $t$ 期预测值 $F_t$，如式子 $(1)$；又或者是：在第 $t$ 期预测值 $F_t$ 的基础上，根据误差进行调整（误差为 $X_t-F_t$，调整为 $\alpha$），如式子 $(2)$。

1.2 筛选平滑系数

简单指数平滑法通常用于相对平稳的情况，平滑系数 $\alpha$ 越小的时候，预测越平稳（波动不明显）；平滑系数 $\alpha$ 越大的时候，预测越灵敏（波动明显）。而平滑系数 $\alpha$ 的选取可以通过均方误差 $MSE$ 来筛选$$MSE=\frac{{\sum }_{t=1}^n(X_t-F_t{)}^2}{n}$$也就是先用多个 $\alpha$ 计算出每个 $\alpha$ 所对应的预测值的均方误差，最后挑选均方误差最小的 $\alpha$ 作为最终的平滑系数，因为均方误差越小，说明实际值和预测值越接近。或者计算平均绝对百分比，也就是 $$绝对百分比=\frac{|实际值-预测值|}{实际值}\times 100\%$$ 也就是预测值和实际值相差多少。

1.3 模型优缺点

优点：
$（1）$简单，不需要太多的数据，只需要当期的实际值和预测值就能预测下期；
$（2）$反应灵敏，对于最近发生的波动能较快发现，并应用到下次预测中；
$（3）$可以持续优化，只需要优化平滑系数 $\alpha$ 即可。

缺点：
$（1）$优化不易，无法准确知道适合哪个平滑系数，只能通过多次试验才能确定；
$（2）$只能预测短期，若是要进行长期预测则会增加不确定性，因为长期的预测也需要中间还未发生的数据，这时候的预测就不会很准；
$（3）$只能用于相对平稳的情况，如果出现波动情况，也就是有季节性或趋势性的时候，预测的数据往往会一直跟着跑，即滞后。

1.4 例子

某地 $5$ 月气温如下：

日期	最低气温 / ℃	最高气温 / ℃
1	16	19
2	16	20
3	20	27
4	19	29
5	22	29
6	22	31
7	22	28
8	22	27
9	23	26
10	24	26
11	24	26
12	22	27
13	23	26
14	21	28
15	18	22
16	16	23
17	19	28
18	21	26
19	23	29
20	24	30
21	23	30
22	23	28
23	25	27
24	24	28
25	24	28
26	24	31
27	24	29
28	25	31
29	26	31
30	26	32
31	25	32

从第 $2$ 日开始预测，取 $\alpha =0.7$ 得到最低温度如下图像：

此时 $MSE=3$，平均绝对百分比误差为 $5.83\%$，同时，计算最高温度如下图像：

此时 $MSE=6$，平均绝对百分比误差为 $6.40\%$.

2、霍尔特指数平滑法

2.1 模型介绍

霍尔特双参数法（即霍尔特指数平滑法）通常用于有趋势的情况。 由两部分构成，分别为水平部分和趋势部分，水平部分$$F_t=\alpha X_t+(1-\alpha )(F_{t-1}-S_{t-1})$$ 趋势部分$$S_t=\beta (F_t-F_{t-1})+(1-\beta )S_{t-1}$$ 预测公式 $${\hat{X}}_{t+T}=F_t+T{S}_t$$其中 $X_t$ 为第 $t$ 期的实际值，${\hat{X}}_{t+T}$ 为第 $t+T$ 期的预测值，$F_t$ 为第 $t$ 期的水平部分，$S_t$ 为第 $t$ 期的趋势部分，$\alpha ,\beta$ 是平滑系数。预测公式说明，第 $t+T$ 期的预测值由第 $t$ 期的水平部分加上 $T$ 倍的第 $t$ 期的趋势部分。

2.2 是否有趋势

可以画出时间序列的折线图，然后进行观察，最好顺便做出时间序列的线性回归方程，看线性回归的参数 $R^2$ 大小，越大，说明 $x$ 与 $y$ 之间的有明显的线性关系。

2.3 优缺点

优点：
$（1）$ 预测准确度相比于移动平均法和简单指数平滑法高，因为用了两个平滑系数。
$（2）$ 反应更灵敏，预测还包括趋势变化。
缺点：
$（1）$ 两个平滑系数的设置比较玄，需要尝试，不仅要考虑预测准确度，还要观察犯重大错误的数据是多还是少，这样才能选到更优的参数。

2.4 例子

假设商品 $A$ 最近 $18$ 个月的销量是：$4,6,8,11,13,16,18,22,26,29,33,37,40,43,47,50,53,56$，用前 $12$ 月预测最近 $6$ 月所以 $$S_0=\frac{(6-4)+(8-6)+\cdots +(37-33)}{11}=\frac{37-4}{11}=3$$ 令 $F_0=37,\alpha =0.3,\beta =0.1,t=0$，则

$T$	$X_{t+T}$	${\hat{X}}_{t+T}$
$1$	$40$	$40$
$2$	$43$	$43$
$3$	$47$	$46$
$4$	$50$	$49$
$5$	$53$	$52$
$6$	$54$	$55$

3、霍尔特-温特模型

3.1 模型介绍

霍尔特–温特模型通常用于季节性加趋势，由三部分构成，分别为水平部分、趋势部分和季节部分，水平部分 $$F_t=\alpha \frac{X_t}{I_{t-L}}+(1-\beta )(F_{t-1}+S_{t-1})$$趋势部分 $$S_t=\gamma (F_t-F_{t-1})+(1-\gamma )S_{t-1}$$季节性部分 $$I_t=\beta \frac{X_t}{F_t}+(1-\beta )I_{t-L}$$ 预测公式 $${\hat{X}}_{t+T}=(F_t+T{S}_t)I_{t+T-L}$$ 其中 $X_t$ 为第 $t$ 期的实际值，${\hat{X}}_{t+T}$ 为第 $t+T$ 期的预测值，$F_t$ 为第 $t$ 期的水平部分，$S_t$ 为第 $t$ 期的趋势部分，$I_t$ 为第 $t$ 期的季节部分，$L$ 为季节长度，$\alpha ,\beta ,\gamma$ 是平滑系数。预测公式说明，第 $t+T$ 期的预测值由第 $t$ 期的水平部分与 $T$ 倍的第 $t$ 期的趋势部分之和乘以第 $t+T-L$ 期的季节部分。

3.2介绍季节性

季节性是时间序列随季节变化而变化的周期性波动，可以通过下面例子观察季节性。例子： 利用某企业连续四年的商品销售量资料（如下表），计算去除季节性后的销量。

年份	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度	年平均
2013	2	8	4	1	3.75
2014	1	11	4	2	4.5
2015	2	14	3	2	5.25
2016	3	15	5	3	6.5
季度平均	2	12	4	2	5

这里的季节比率计算方法如下$$季节比率=\frac{季度平均}{年总平均}$$

季度	1	2	3	4
季节比率	0.4	2.4	0.8	0.4

将数据去除季节性，得到无季节性的销量

年份	季度	销量	季节比率	去除季节性后=销量÷季节比率
2013	1	2	0.4	5
2013	2	8	2.4	3.33
2013	3	4	0.8	5
2013	4	1	0.4	2.5
2014	1	1	0.4	2.5
2014	2	11	2.4	4.58
2014	3	4	0.8	5
2014	4	2	0.4	5
2015	1	2	0.4	5
2015	2	14	2.4	5.83
2015	3	3	0.8	3.75
2015	4	2	0.4	5
2016	1	3	0.4	7.5
2016	2	15	2.4	6.25
2016	3	5	0.8	6.25
2016	4	3	0.4	7.5

参考文献

【1】刘宝红《需求预测和库存计划：一个实践者的角度》
【2】吴小明. Excel在霍尔特指数平滑法参数优选中的应用[J]. 无锡商业职业技术学院学报,2008,8(3):49-50. DOI:10.3969/j.issn.1671-4806.2008.03.014.
【3】童明荣,薛恒新. 霍尔特-温特模型在货运量季节性预测中的应用[J]. 数理统计与管理,2008,27(3):500-504.