ARMA用指数平滑法表示

梦什

于 2021-11-16 12:40:29 发布

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分类专栏：时间序列文章标签： arma

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本文探讨ARMA(p,q)模型的基本概念，重点讲解其与指数平滑的相似之处，并通过ARIMA(0,1,1)实例展示模型操作。理解它们之间的关系有助于深入掌握时间序列分析技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于 ARMA(p,q) 模型：

$\small \bg_white \phi(B)X_t =\theta(B) Z_t$

其中：

$\small \theta (B) =1-\sum_{i=1}^{q}\theta_iB^{i}$

$\small \phi (B) =1-\sum_{i=1}^{p}\phi_iB^{i}$

我们可以进行如下操作：

$\small \frac{\phi (B)}{\theta (B)}X_t = Z_t$

$\small \frac{\phi (B)}{\theta (B)} = 1+\psi_1B+\psi_2B^{2}+\cdot \cdot \cdot = \psi (B)$

$\small \Rightarrow (1+\psi_1B+\psi_2B^{2}+\cdot \cdot \cdot )X_t = Z_t$

$\small \Rightarrow X_t = \psi _1X_{t-1}+\psi _2X_{t-2}+\cdot \cdot \cdot +Z_t$

为了方便说明我这里使用的例子是 ARIMA(0,1,1) 模型

$\small (1-B)X_t = (1-\theta B)Z_t$

$\small \Rightarrow \frac{1-B}{1-\theta B}X_t = Z_t$

$\small \Rightarrow (1+\theta B+\theta^{2}B+\cdot \cdot \cdot )(1-B)X_t = Z_t$

$\small \Rightarrow X_t+(\theta-1)X_{t-1}+\theta(\theta-1)X_{t-2}+\theta^{2}(\theta-1)X_{t-3}+\cdot \cdot \cdot = Z_t$

$\small \Rightarrow X_t=(1-\theta)X_{t-1}+\theta(1-\theta)X_{t-2}+\theta^{2}(1-\theta)X_{t-3}+\cdot \cdot \cdot + Z_t$

$\small \Rightarrow X_t=(1-\theta)[X_{t-1}+\theta X_{t-2}+\theta^{2} X_{t-3}+\cdot \cdot \cdot ]+ Z_t$

这里就可以看出和指数平滑有关系了！

后面的下次有时间再写

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