连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系

今天复习了一下连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系。

定义一个间隔为a的无限冲激序列串函数$S(\frac{t}{a})={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (na-t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (a(n-\frac{t}{a}))={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{a}\delta (n-\frac{t}{a})$,可以推导出$S(t)$的傅里叶变换是$\frac{1}{a}S(at)$.再定义连续函数$f(t)$的傅里叶变换是$F(f)$,(傅里叶变换中的$f$是频率的符号，不是代表连续函数的$f$符号)。对连续函数$f(t)$进行间隔a采样，就得到${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }f(na)\delta (na-t)=f(t)\times S(\frac{t}{a})$,对采样后的离散值做连续傅里叶变换得到$F(f)\ast \frac{1}{a}S(at)=\Delta f{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }F(f-n\Delta f)$.注意：$\Delta f=\frac{1}{a}$.分析上式，若$F(f)$有有限的截止频率B(即当$|f|>B$时，$F(f)=0$).那么要想完整恢复原始信号，只需要$\Delta f>2B$,也就是采样间隔$a\le \frac{1}{2B}$,这样采样后的频率域就不会发生混叠，只需要用一个截止频率为B的低通滤波器对采样后的信号进行滤波就可完整恢复频域，（当然幅值会变成$\Delta f$倍）进而恢复原始信号，这就是Nyquist-Shannon采样定理。

根据信号与系统课本，离散时间傅里叶变换函数$X(e^{jw})={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-jwn}$。对比连续时间傅里叶变换，$X(jw)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-jwt}dt$,之所以一个自变量用$e^{jw}$一个用$jw$是为了区分离散和连续，离散的傅里叶变换有周期性，$w$变化$2\pi$后$X(e^{jw})$等于原值，连续的由于没有限制t为整数，所以$w$变化$2\pi$后$X(jw)$不等于原值。

再考虑定义$x[n]=f(na),x(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\delta (na-t)$,代入$X(jw)$公式化简，可得到 $X(jw)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-jwna}$,再对比$x[n]$的离散时间傅里叶变换$X(e^{jw})$，我们可以知道$X(jw)=X(e^{jwa})$,这说明对连续函数$f(t)$以间隔a采样后的连续函数$x(t)$对应的序列$x[n]$,$x[n]$的离散时间傅里叶变换$X(e^{jw})$与$x(t)$连续时间傅里叶变换$X(jw)$的函数图像形状是一样的，只是$X(e^{jw})$函数图像横坐标被压缩了a倍。 我们又已知$X(jw)=\Delta f{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }F(f-n\Delta f)$,$X(e^{jwa})$中$w$周期是$\frac{2\pi }{a}$,又因为$\Delta f{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }F(f-n\Delta f)$中$f$周期是$\Delta f$,而$w=2\pi f$，可以推出$2\pi \Delta f=\frac{2\pi }{a}$.最终又得到$\Delta f=\frac{1}{a}$.（这一段是废话）

我们的计算机中对$x[n]$做的是离散傅里叶变换，公式是$X(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$,观察这个公式，与离散时间傅里叶级数很像，离散时间傅里叶级数公式是：$a_k=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk(2\pi /N)n}$,只相差了一个系数$\frac{1}{N}$,因此我们只需要对$x[n]$做离散时间傅里叶级数，然后再乘以$N$就得到离散傅里叶变换。离散时间傅里叶级数的前提是序列$x[n]$是无限长周期序列。因此要对计算机存储的有限长序列$x[n]$做周期延拓。首先区分三个变量符号表示：$x[n]$是计算机存储的有限长序列，长度为$N$，$x^{\prime }[n]$是$x[n]$拓展的数学上存在的无限长有限持续的序列，当$0\le n<N$时，$x^{\prime }[n]=x[n]$,否则$x^{\prime }[n]=0$。${\tilde{x}}^{\prime }[n]$为无限拓展的周期序列,$0\le n<N$时，${\tilde{x}}^{\prime }[n]=x[n]$,${\tilde{x}}^{\prime }[n]={\tilde{x}}^{\prime }[n+N]$.考虑${\tilde{x}}^{\prime }[n]$离散傅里叶级数表示，$a_k=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}{\tilde{x}}^{\prime }[n]e^{-jk(2\pi /N)n}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}{x}^{\prime }[n]e^{-jk(2\pi /N)n}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{x}^{\prime }[n]e^{-jk(2\pi /N)n}=\frac{1}{N}{X}^{\prime }(e^{jk{w}_0})$.

上式我们可以知道对计算机中存储的序列$x[n]$做离散傅里叶变换实质得到$\frac{1}{N}{X}^{\prime }(e^{jk{w}_0})\times N=X^{\prime }(e^{jk{w}_0})$，也就是对$X^{\prime }(e^{jw})$在$[0,2\pi )$做N个点等间隔采样，如果序列$x[n]$来自连续函数$f(t)$的等间隔a采样(即$x[n]=f(na)$)，令$x(t)={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]\delta (na-t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{x}^{\prime }[n]\delta (na-t)$,则$X(jw)={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jwna}={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{x}^{\prime }[n]e^{-jwna}=X^{\prime }(e^{jwa})$。我们有以下逻辑：对计算机中存储的序列$x[n]$做离散傅里叶变换得到$X^{\prime }(e^{jw})$的$N$个采样点，这$N$个采样点的横坐标的$k{w}_0$实质对应$X(jw)$的$w=\frac{k{w}_0}{a}$，即$f=\frac{k}{Na}$,且 $X(jw)=\Delta f{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{F}^{\prime }(f-n\Delta f)$.$F^{\prime }(f)$是连续函数$f(t)$截取$[0,(N-1)a]$后的有间断点的连续函数$f^{\prime }(t)$的傅里叶变换，为了保证$F^{\prime }(f)$傅里叶逆变换后在区间$[0,(N-1)a]$能收敛到$f^{\prime }(t)$,可以在$t=(N-\frac{1}{2})a$截断，既保证不影响$f(Na)=0$,又保证在区间$[0,(N-1)a]$能收敛到$f^{\prime }(t)$。在mathematica验证通过。