大数因数分解pollard rho

本文深入讲解了数论中的快速乘法与快速幂运算,并通过费马小定理介绍了判断素数的方法。此外,还详细解释了二次探测定理、pollardrho算法以及millerrabin素性测试算法。

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  1. 快速乘&快速幂
  2. 费马小定理
  3. 二次探测定理
  4. pollor rho
  5. miller rabin

传送门hdu3864

在介绍pollard rho算法之前,先普及一下快速乘法及快速幂,因为大数的乘法之类的可能会爆long long;

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

long long p,n;

int mul(long b,long a)//快速乘
{
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ret=(ret+a)%p;
        }
        b>>=1;
        a=(a+a)%p;
    }
    return ret;
}

int pow(long long a,long long n)//快速幂
{
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ret=mul(ret,a);
        }
        n>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&p))
    {
        printf("%I64d",pow(2,n)%p);
    }
}

费马小定理

假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p)。
即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的 (p-1)次方除以p的余数恒等于1。

证明

引理1.
  若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)

证明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2.
  设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.

证明:若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理1则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.

构造素数 p 的完全剩余系
{1,2,3,4……,p-1}
因为 gcd(a,p)==1,由引理2可得
{a,2a,3a,4a,5a……(p-1)a}也为完全剩余系;

则有完全剩余系性质可得1*2*3*4*5…..*(p-1)==a*2a*3a*4a*5a……(p-1)a%p;
所以(p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1) (mod p);
a^(p-1)≡1(mod p)

二次探测定理:

如果n是一个素数,且n>x>0,则方程x²%n=1的解为:x=1或 x=n-1.
证明:
除x=1这个解外,剩下的x满足 n>x>√n , n²>x²>n;
那么则有x²=n+1 2n+1 3n+1……(n-2)n+1 …(n-1)n+1
由于n是素数,所以n不可分解,所以只有(n-2)n+1可化为平方形式,即x=n-1;

pollard rho算法带有一定的概率性,但也算是比较靠谱的一种板子了,错判率大概只有4^(-s),s值是自定的;
该算法主要是将大数不断分解为小数;
费马小定理伪质数推断可知,如果n是一个正整数,如果存在和n互素的正整数a满足 a^(n-1)≡ 1(mod n),我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数,那么它几乎肯定是素数,多次查询,则误判几率能降到极低;
所以不断构造随机数x1,找到这样一个因子p,使p=gcd(x1-x2,n);若p==1则构造失败,基于x1不断调整x2,否则p就是a的一个因数,递归继续找p,及n/p;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
long long factor[1000005];
int tot;
const int S=50;

long long mult(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ret=(ret+a)%c;
        }
        b>>=1;
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
    }
    return ret;
}

long long pow(long long x,long long n,long long mod)
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ret=mult(ret,tmp,mod);
        }
        tmp=mult(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)return true;//是合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1)return true;
    return false;
}

bool miller_rabin(long long n)//判素数
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2) return true;
    if((n&1)==0)return false;
    long long x=n-1;
    long long t=0;
    while((x&1)==0)
    {
        x>>=1;
        t++;
    }
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-1)+1;
        if(check(a,n,x,t))//如果检查出来是合数
        return false;
    }
    return true;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;
    if(a<0)return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long pollard_rho(long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x)return d;
        if(y==x0)return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}
    void findphi(long long n)
    {
        if(miller_rabin(n))
        {
            factor[tot++]=n;
            return;
        }
        long long p=n;
        while(p>=n)
        {
            p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);

        }
        findphi(p);
        findphi(n/p);
    }

    int main()
    {
        long long n;
        while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
        {
            tot=0;
            findphi(n);
            for(int i=0;i<tot;i++)
            printf("%I64d",factor[i]),printf("\n");
            if(miller_rabin(n))printf("yes\n");
            else printf("no\n");
        }
        return 0;
    }
<think>我们详细解释 Pollard Rho 算法用于质因数分解的原理。该算法由 John Pollard 在 1975 年提出,主要用于分解大整数的非平凡因子。其核心思想是利用一个特定的伪随机序列来生成可能因子,并通过最大公约数(GCD)检测来寻找因子。 ### 1. 算法动机 直接试除法在分解大整数时效率低下(尤其是当因子较大时)。Pollard Rho 算法利用以下观察: - 设 $n$ 为待分解的合数,$p$ 是 $n$ 的一个非平凡因子($1<p<n$)。 - 考虑一个模 $n$ 的伪随机序列 $\{x_k\}$,如果序列模 $p$ 的值出现重复(即 $x_i \equiv x_j \pmod{p}$),那么 $|x_i - x_j|$ 将是 $p$ 的倍数。此时,计算 $\gcd(|x_i - x_j|, n)$ 可能会得到 $p$(或者 $n$ 本身,此时需调整参数重新尝试)。 然而,直接存储所有序列值并检查重复需要大量内存。Pollard Rho 算法通过 Floyd 的循环检测算法(龟兔赛跑)来高效检测循环,从而节省内存。 ### 2. 伪随机函数 通常使用一个二次函数生成伪随机序列: $$ x_{k+1} = (x_k^2 + c) \mod n $$ 其中 $c$ 是一个随机常数(通常 $c \neq 0, -2$),初始值 $x_0$ 随机选择。 ### 3. 循环检测(Floyd 方法) 设序列 $\{x_k\}$ 模 $p$ 存在循环(因为模 $p$ 的值域有限,循环必然出现)。Floyd 方法使用两个指针(龟和兔): - 龟指针每次走一步:$t = x_i$ - 兔指针每次走两步:$h = x_{2i}$ - 当 $i$ 增加到某个值时,若 $\gcd(|t - h|, n) > 1$,则找到了一个因子。 具体步骤: 1. 初始化:$x = y = 2$(通常从2开始),$c$ 随机选择(如 $c=1$),$d = 1$。 2. 循环直到 $d \neq 1$: - $x = f(x) = (x^2 + c) \mod n$ - $y = f(f(y))$ (即 $y$ 走两步) - 计算 $d = \gcd(|x - y|, n)$ 3. 如果 $d = n$,则算法失败(需换 $c$ 重新开始);否则 $d$ 是 $n$ 的一个因子。 ### 4. 为什么能分解? 由于序列模 $p$ 会形成循环(形如希腊字母 $\rho$,因此得名),而模 $n$ 的序列可以看作模 $p$ 和模 $n/p$ 的组合。当两个指针在模 $p$ 下进入循环时,$|x_i - x_j|$ 是 $p$ 的倍数,因此 $\gcd(|x_i - x_j|, n)$ 至少包含因子 $p$。但若同时是 $n$ 的倍数,则得到 $d=n$(失败)。 ### 5. 算法效率 - 期望时间复杂度为 $O(n^{1/4} \log n)$,比试除法($O(\sqrt{n})$)快得多。 - 算法是概率性的,可能失败,但可通过调整随机参数 $c$ 和 $x_0$ 重新尝试。 ### 6. 代码示例(Python) 以下是一个简化的 Pollard Rho 实现: ```python import math import random def pollard_rho(n): if n == 1: return 1 if n % 2 == 0: return 2 # 函数 f(x) = x^2 + c x = random.randint(2, n-1) y = x c = random.randint(1, n-1) d = 1 while d == 1: x = (x*x + c) % n y = (y*y + c) % n y = (y*y + c) % n # y 走两步 d = math.gcd(abs(x-y), n) if d == n: # 失败,重新选择参数 return pollard_rho(n) return d # 示例:分解 n = 10403 n = 10403 factor = pollard_rho(n) print(f"{n} 的一个因子是: {factor}") ``` ### 7. 完整质因数分解 使用 Pollard Rho 算法分解一个合数 $n$ 的完整步骤: 1. 如果 $n$ 是质数(用米勒-拉宾测试),直接输出。 2. 用 Pollard Rho 算法找到一个因子 $d$。 3. 递归分解 $d$ 和 $n/d$。 注意:实际应用中需处理小因子(如先试除小质数)以提升效率。 ### 总结 Pollard Rho 算法利用伪随机序列的循环特性和最大公约数计算,高效地寻找大整数的非平凡因子。其核心在于循环检测和随机参数调整,是一种概率算法但效率显著高于试除法[^1][^2]。 §§相关问题§§ 1. Pollard Rho 算法中如何选择随机参数 $c$ 和初始值 $x_0$ 以提高成功率? 2. 米勒-拉宾素性测试的原理和实现细节是什么? 3. 除了 Pollard Rho,还有哪些高效的大数分解算法(如二次筛法、数域筛法)? 4. 如何将 Pollard Rho 算法与试除法结合进行完整的质因数分解?</think>### Pollard Rho 算法原理详解 Pollard Rho 算法是一种高效的**概率性质因数分解算法**,专门用于寻找大整数的非平凡因子(即大于1且小于整数本身的因子)。其核心思想基于**生日悖论**和**循环检测**,通过伪随机序列寻找因子。以下是逐步原理分析: --- #### 1. 算法基础:生日悖论 生日悖论指出:在 $N$ 个人中,有两人同一天生日的概率远高于直觉预期。类似地,在模 $p$($p$ 是 $n$ 的因子)下,随机序列中两个值碰撞($x_i \equiv x_j \pmod{p}$)的概率较高。 - 若 $x_i \equiv x_j \pmod{p}$,则 $\gcd(|x_i - x_j|, n)$ 可能是 $p$ 的倍数(即 $n$ 的非平凡因子)。 - 期望碰撞次数为 $O(\sqrt{p})$,远低于 $O(p)$,这是算法高效的关键[^1]。 --- #### 2. 伪随机序列生成 定义迭代函数生成序列: $$ f(x) = (x^2 + c) \mod n $$ 其中: - $x$ 是当前值(初始随机选择) - $c$ 是随机常数(通常 $c \neq 0, -2$) - 序列示例:$x_0, x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), \dots$ 该序列在模 $n$ 下看似随机,但在模 $p$($p|n$)下会**形成循环**(形如希腊字母 $\rho$,算法因此得名)。 --- #### 3. Floyd 循环检测 为高效检测碰撞,使用两个指针(龟兔赛跑法): - **龟指针**($x$):每次移动一步,$x_{i+1} = f(x_i)$ - **兔指针**($y$):每次移动两步,$y_{i+1} = f(f(y_i))$ - 当 $\gcd(|x_i - y_i|, n) > 1$ 时,找到非平凡因子(可能为 $p$) ```python def pollard_rho(n): x = y = random.randint(2, n-1) # 随机初始化 c = random.randint(1, n-1) # 随机常数 d = 1 while d == 1: x = (x*x + c) % n # 龟走一步 y = (y*y + c) % n # 兔走第一步 y = (y*y + c) % n # 兔走第二步 d = math.gcd(abs(x - y), n) # 检测碰撞 return d # 返回因子 (可能是 n 本身) ``` --- #### 4. 算法步骤 1. **输入**:合数 $n$(非质数) 2. **初始化**: - 随机选择 $x, c \in [2, n-1]$ - 设 $y = x$, $d = 1$ 3. **迭代**: - $x \leftarrow f(x) = (x^2 + c) \mod n$ - $y \leftarrow f(f(y))$(移动两步) - $d \leftarrow \gcd(|x - y|, n)$ 4. **终止条件**: - 若 $d > 1$,返回 $d$(找到因子) - 若 $d = n$,失败(需换 $c$ 重试) 5. **递归分解**:对因子 $d$ 和 $n/d$ 递归调用算法 --- #### 5. 数学原理 设 $p$ 是 $n$ 的最小质因子: - 序列 $\{x_k \mod p\}$ 会进入循环(值域有限) - 龟兔指针在 $O(\sqrt{p})$ 步内以高概率碰撞(生日悖论) - 碰撞时 $x_i \equiv y_i \pmod{p}$,故 $|x_i - y_i|$ 含因子 $p$ - $\gcd(|x_i - y_i|, n)$ 至少包含 $p$(除非是 $n$ 本身) --- #### 6. 时间复杂度 - **期望复杂度**:$O(n^{1/4} \log n)$ - **优势**:比试除法($O(\sqrt{n})$)快指数级 - **概率性**:可能失败,但可通过调整 $c$ 和 $x_0$ 重试 --- #### 7. 完整分解示例(Python) ```python import math import random def is_prime(n): """米勒-拉宾素性测试(简化版)""" if n < 2: return False for p in [2, 3, 5, 7, 11]: if n % p == 0: return n == p return True # 简化处理 def pollard_rho(n): if n % 2 == 0: return 2 x = random.randint(2, n-1) y = x c = random.randint(1, n-1) d = 1 while d == 1: x = (x*x + c) % n y = (y*y + c) % n y = (y*y + c) % n d = math.gcd(abs(x - y), n) if d == n: return pollard_rho(n) # 失败重试 return d def factorize(n): if is_prime(n) or n == 1: return [n] d = pollard_rho(n) return factorize(d) + factorize(n//d) # 分解 n = 10403 (101×103) print(factorize(10403)) # 输出: [101, 103] ``` --- ### 关键点总结 1. **随机性**:$c$ 和初始值 $x$ 随机选择,避免死循环。 2. **碰撞检测**:龟兔赛跑法以 $O(1)$ 空间检测循环。 3. **递归分解**:对找到的因子递归调用,直到得到质因子。 4. **效率**:特别适合分解含中等大小因子的大整数(如 RSA 模数)[^1][^2]。
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