poj3233 - Matrix Power Series-矩阵快速幂

最新推荐文章于 2020-12-19 11:24:01 发布

程序员的冷浪漫

最新推荐文章于 2020-12-19 11:24:01 发布

阅读量930

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：十二、矩阵乘法-快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunquana/article/details/9865957

十二、矩阵乘法-快速幂专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数学问题的方法。针对给定矩阵A及其幂次和S=A+A^2+A^3+...+A^k的求解，采用两次二分策略，先通过矩阵快速幂求得A^i，再对规模k进行二分处理，递归计算得到最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给你A矩阵，A矩阵是n*n的一个矩阵，现在要你求S = A + A^2 + A^3 + … + A^k.
那么s一定也是一个N*N的矩阵，最后要你输出s，并且s的每一个元素对m取余数。

解法一：

【题解】：以下是matrix67的题解：
这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：
A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;
#define maxn 35
struct Matrix
{
    int m[maxn][maxn];
     void zero()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    void unit()
    {
      for(int i=0;i<maxn;i++)m[i][i]=1;
    }

}base;
int  mod,n;
Matrix operator +(const Matrix &a,const Matrix &b)//矩阵加法
{
    Matrix c;
    int i,j;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        for(j=0; j<n; j++)
            c.m[i][j]=(a.m[i][j]+b.m[i][j])%mod;
    }
    return c;
}
Matrix operator *(const Matrix &a,const Matrix &b)//矩阵乘法
{
    Matrix c;
    int i,j,k;
    for(i=0; i<n; i++)
        for(j=0; j<n; j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
            for(k=0; k<n; k++)
            {c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
            }
        }
    return c;
}
Matrix operator ^(Matrix a, int n)//矩阵快速幂
{
    Matrix tmp;
    tmp.zero();
    tmp.unit();
    while(n)
    {
        if(n&1)
            tmp=tmp*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return tmp;
}
void show(Matrix c)//输出矩阵
{
    int i,j;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        for(j=0; j<n-1; j++)
            printf("%d ",c.m[i][j]);
      printf("%d\n",c.m[i][j]);
    }
}

Matrix sum(int k)
{
    if(k==1) return base;
    Matrix tmp=sum(k>>1);
    //k奇数 eg: A^5;tmp=sum(A^2); tmp2=A^3;
    if(k&1)
    {
        Matrix tmp2=base^((k>>1)+1);
        return  tmp+tmp2+tmp*tmp2;
          //(A^1+A^2)    (A^4+A^5)
    }
    //k偶数 eg: A^6;tmp=sum(A^3); tmp2=A^3;
    else
    {
        Matrix tmp2=base^(k>>1);

        return tmp+tmp*tmp2;
    //(A^1+A^2+A^3)+A^3*(A^1+A^2+A^3)
    }
}

int main()
{
    int k,i,j;
    while(cin>>n>>k>>mod)
   {

       for(i=0; i<n; i++)
        for(j=0; j<n; j++)
        {
            scanf("%d",&base.m[i][j]);
            base.m[i][j]=base.m[i][j]%mod;
        }
      Matrix ans=sum(k);
      show(ans);
    }
    return 0;
}