【uva 11300】 Spreading the Wealth

题意

环形排列的$n(n\le 10^6)$个人，每人有一定量的金币。每个人可以给左右相邻的两个人金币，最终使得每个人都有相同量的金币。求被转手的最小金币数。

思路

贪心的经典题。

在$n$个人中：

• 设第$i$个人手中的金币数是$A_i$。
  • 设一个人最后手中的金币数是$V$，不难得出： $$V=\sum_{i=1}^{n}(A_i)\times \frac{1}{n}$$
  • 设第$i$个人给第$i-1$个人的金币数为$X_i$。
    说明：
    -> 如果是第$i$个人给第$i-1$个人，$X_i$为正值，否则$X_i$为负值。
    -> $X_1$表示第1个人给第$n$个人的金币数。
  • 设最终答案为$ans$，显然 $$ans=\sum_{i=1}^{n}|X_i|$$

  不难发现，$i$的金币全部来自$i-1$或$i+1$，又因为每个人最终得到的金币数是$V$，所以说每一个人可以得到一个等式，对于第$i$个人：

  $$V=A_i-X_i+X_{i+1}$$
  上式变形可以得到：$X_{i+1}=V-A_i+X_i$
  特殊的：
  • $X_2=V-A_1+X_1$
  • $X_3=V-A_2+X_2=(V-A_1)+(V-A_2)+X_1$
  • $X_4=V-A_3+X_3=(V-A_1)+(V-A_2)+(V-A_3)+X_1$
  • $...$

  令$C_i=\sum_{j=1}^{i}(A_j-V)$，我们知道每一个$C_i$都是可求的。
  则上式可以变成：

  • $X_2=X_1-C_1$
  • $X_3=X_2-C_2$
  • $X_4=X_3-C_3$
  • $...$

  于是$ans=|X_1|+\sum_{i=1}^{n-1}|X_1-C_i|$
  后面的式子的最小值可以转化求一个数轴上的中位数，于是问题的解。

  代码：

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <cstdlib>
  #include <algorithm>
  #include <cstring>
  using namespace std;
  long long int n;
  long long int sum = 0;
  long long int ans = 0;
  const int maxn = 1e7+2;
  long long int a1[maxn];
  long long int a2[maxn];
  int main(){
      while(cin >> n){
          memset(a1, 0, sizeof a1);
          memset(a2, 0, sizeof a2);
          sum = ans = 0;
          for(int i = 1; i <= n; i ++){
              scanf("%lld",&a1[i]); sum += a1[i];
          }
          sum /= n;
          a2[0] = 0;
          for(int i = 1; i <= n; i ++){
              a2[i] = a2[i-1] + a1[i] - sum;
          }
          sort(a2+1,a2+n+1);
          long long int t = a2[n/2 + 1];
          for(int i = 1; i <= n; i ++){
              ans += abs(t - a2[i]);
          }
          cout << ans << endl;
      }
  
      return 0;
  }