基本不等式 学习笔记

公式：

调和平均值$\le$几何平均值$\le$算术平均值$\le$平方平均值

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

例题：

例1：

当$a<x<\frac{\pi}{2}$时，函数$f(x)=\frac{1+\cos{2x}+8\sin^2{x}}{\sin {2x}}$的最小值是
解：
$f(x)=\frac{1+\cos{2x}+8\sin^2{x}}{\sin {2x}}=\frac{2\cos^2{x}+8\sin^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}+4\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\ge2\sqrt{4}$
经验证，在$a<x<\frac{\pi}{2}$的范围内，$\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$可以取到2。

例2：

设$a\ge0,b\ge0,a^2+\frac{b^2}{2}=1$，求$a\sqrt{1+b^2}$的最大值
解：
$a\sqrt{1+b^2}=\sqrt{2}a\sqrt{\frac{1+b^2}{2}}\le \sqrt{2}\frac{a^2+\frac{1+b^2}{2}}{2}=\frac{3}{4}\sqrt{2}$