巴什博弈Bash Game

巴什博弈(Bash Game)

有一堆n个物品，两个人轮流拿，最少拿一个，最多拿k个，拿到最后的人胜利。

必胜点与必败点

必胜点当一个玩家面临这个状态则必胜，如面临剩下一个物品的情况
必败点当一个玩家面临这个状态就必败，如面临剩下0个或者k+1个物品等情况

这个看起来像是一个靠运气的游戏，实则上是一个经典的博弈论问题。

显然，当一个玩家面临剩下1到k个物品的情况是必胜的，面临k+1的状态的必败的。我们想获得胜利，就是要让对手面临k+1的状态即可。
当$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(k+1)!=0$时，由于第一个玩家先手有主动权，他就一定能维护对手面临的状态为$left\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(k+1)=0$，这样的情况下先手就必胜
当$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(k+1)=0$时，第一个玩家就必须破坏$left\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(k+1)=0$的状态，而第二个玩家就可以维护$left\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(k+1)=0$的状态，这样的情况下就是先手必败
练习题链接

例题2：

有一堆石子共有N个。A B两个人轮流拿，A先拿。每次拿的数量只能是2的正整数次幂，比如(1,2,4,8,16…)，拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出N，问最后谁能赢得比赛。
例如N = 3。A只能拿1颗或2颗，所以B可以拿到最后1颗石子。（输入的N可能为大数）

我们按照前面一题的分析，我们知道，面临3的的状态是必败的，同样，三的倍数状态也是必败的，所以谁能维护这个数为3的倍数（因为我们可以每次拿一个或者两个，所以是可以维护3的倍数这个状态的），当N为三的倍数，那么第二个玩家就可以维护3的倍数状态，第二个玩家胜利，当N不为3的倍数，那么第一个玩家胜利
练习题链接