理论： 博弈2： 巴什博奕（Bash Game）

巴什博奕基础情形

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

如果n = m + 1； 我们假设第一个人拿走了k个， 还剩下 m + 1 - k。 因为1<=（m + 1 - k）<= m, 所以， 剩下的部分一定可以被第二个人一次性取走。

现在我们将上述规律加一推广：
如果n=（m+1）r+s（r∈ N，s<= m)；
那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（k<= m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，
以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜

那么在我方取最优解的情况下：
现在我们就发现了巴什博弈的一个必败态： （m + 1）* r （r∈ N）；
那么巴什博弈的必胜态也就可以反推出来： （m + 1）* r + k （1<=k<= m, r ∈N）;

现在我们换一个角度来考虑这个问题：
如果物品数量随机，那么先手一方胜利的概率是m/(m+1)，后手方胜利的概率是1/(m+1)

对于上述的问题， 我们可以用mod的方法快速的求出答案（其实三种博弈的最优美之处就是能用 %^&这三个符号完美解答）


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巴什博弈演变




硬币问题1

Alice和Bob在玩这样的一个游戏， 给定k个数组a1,a2,a3,……ak。 一开始， 有x枚硬币， Alice和Bob轮流取硬币， 每次所取硬币的枚数硬顶要在 a1,a2,a3,……ak之中。 Alice先取， 取走最后一枚硬币的一方获胜。 当双方都采取最优策略的时候， 谁会获胜？ 题目假定a1,a2,a3,……ak之中一定有1。

下面我们来分情况讨论到达自己时， 还有j枚硬币的胜负情况：

1.题目规定， 取光所有的硬币就获胜， 这等价于轮到自己时如果没有硬币就失败， 因此j = 0时是必败态。
2.如果对于某个i（i<=i<= k）, 就j - ai是必败态， 那么j就是必胜态（如果当前有j枚硬币， 只要取走ai枚对手就必败→自己必胜）；
3.如果对于任意的i（1 <= i <= k）， j - ai都是必败态的话， j就是必败态（无论对手这么走， 对手都必胜， 自己必败）

根据这些规则， 我们都能利用动态规划