本文详细解析了一道编程竞赛题目，涉及地图上的策略优化问题。题目要求在限制条件下，通过放置炮塔来防御喵星人的入侵，计算最大伤害。解题关键在于设计状态和转移，包括插头DP、轮廓线路径和炮台数量的记录，以及分类讨论各种情况。最后给出了部分代码实现和思路。
# [SCOI2012]喵星人的入侵
## 题目描述
## 输入格式
第一行为三个整数 n，m，K，分别表示地图的长和宽，以及最多能放置的炮塔数量。
接下来的 n 行，每行包含 m 个字符， ‘#’ 表示地图上原有的障碍， ‘.’表示该处为空地，数据保证在原地图上存在 S 到 T 的路径。
## 输出格式
输出在合理布阵下，喵星人采取最优策略后，会受到的最大伤害。
注意必须保证在布阵结束后喵星人仍然可以沿一条或以上的路径从起点 S 到达终点 T ，否则他们组织更大规模的侵略。
## 样例 #1
### 样例输入 #1
```
3 3 1
S.T
...
...
```
### 样例输出 #1
```
7
```
## 提示
【提示】
样例的一种最优布局方案如下
```cpp
S#T
.X.
...
```
【数据范围】
对于 30%的数据，保证：
$1\le n,m\leq 6$
对于 100%的数据，保证：
$\min(n,m)\le 6$，$\max(n,m)\le 20$,1<=K<=15且从S到T的路径必定存在
4 篇题解
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UltiMadow 更新时间：2020-04-17 10:53:29
本题解思路&部分代码实现来自这篇日报
终于过了，调了3h，写个题解纪念一下
这道题让我感到了什么叫真正的毒瘤
这题呢，看一眼数据范围，大概是插头dp
那我们就要考虑如何设计状态了
显然，本题中只记录轮廓线的插头状态是不够的，因为每个点的权值是由它周围的八个点的状态决定的，所以我们还要记录轮廓线的路径，也就是轮廓线上是放障碍还是炮台还是路径
我们记轮廓线上如果是障碍则为状态 0，如果是路径则为状态 1，如果是炮台则为 3
当然，我们发现插头状态仅记录左括号（记为1），右括号（记为2），和无插头（记为0）是不够的，因为本题中可能有没有括号和它匹配的插头，我们称其为独立插头（记为3）
我们又发现炮台的数量还有个限制，于是还要加一个状态记录炮台的数量
接下来，就是喜闻乐见的大力分类讨论时间啦
（当然，如果你没有做过这个题，那么建议你先去做一下，因为本题插头使用括号表示法）
我们记 ��1pl1 为右插头，记 ��2pl2 为下插头
-
这个点 ��1=0pl1=0 且左边是路径或 ��2=0pl2=0 且上边是路径
这种情况显然需要用障碍去堵住
那么，显然只有无左插头且无下插头的情况是合法的
接下来，只要转移这个点放炮台或障碍就行了 -
这个点是障碍点
这应该是最简单的一种
显然只有无左插头且无下插头的情况是合法的
直接转移即可 -
这个点是非障碍点
（疯狂的地方开始了）
1）若 ��1=0pl1=0 且 ��2=0pl2=0
则可以添加炮台，或者新建一个联通分量，或者不走
2）若 ��1=0pl1=0 或 ��2=0pl2=0
则直接延伸插头即可
3）若 ��1=1pl1=1 且 ��2=1pl2=1
则需要向右寻找一个右括号换成左括号并删除当前插头
4）若 ��1=2pl1=2 且 ��2=2pl2=2
则需要向左寻找一个左括号换成右括号并删除当前插头
5）若 ��1=1pl1=1 且 ��2=2pl2=2
不合法，因为这样会形成闭合回路
6）若 ��1=2pl1=2 且 ��2=1pl2=1
直接删除插头即可
7）若 ��1=1pl1=1 且 ��2=3pl2=3 或 ��1=3pl1=3 且 ��2=1pl2=1
则需要向右寻找一个右括号替换成独立插头并删除当前插头
8）若 ��1=2pl1=2 且 ��2=3pl2=3 或 ��1=3pl1=3 且 ��2=2pl2=2
则需要向左寻找一个左括号替换成独立插头并删除当前插头
9）若 ��1=3pl1=3 且 ��2=3pl2=3
直接删除插头即可 -
这个点是起点或者终点
1）若 ��1=0pl1=0 且 ��2=0pl2=0
则需要新建一个独立插头
2）若 ��1=1pl1=1 且 ��2=0pl2=0 或 ��1=0pl1=0 且 ��2=1pl2=1
则需要向右寻找一个右括号替换成独立插头并删除当前插头
3）若 ��1=2pl1=2 且 ��2=0pl2=0 或 ��1=0pl1=0 且 ��2=2pl2=2
则需要向左寻找一个左括号替换成独立插头并删除当前插头
4）若 ��1=3pl1=3 且 ��2=0pl2=0 或 ��1=0pl1=0 且 ��2=3pl2=3
直接删除插头即可
以上是大力分类
接下来，我们来讲讲点权的事情
如果经过这个点，由于我们只知道轮廓线上的周围四个点的情况，所以只能加上这四个点中炮台的个数
如果这个点放障碍，不加，直接传下去就行
如果这个点放炮台，我们就要加上轮廓线上路径的个数，那为啥这样直接加是对的呢？
我们如果不经过一个点，我们可以直接把它设置成障碍，这样，一个炮台的贡献就是轮廓线上的周围四个点中路径的个数
该解释的都解释了，我们来看代码吧
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 25
#define p 100007
#define int long long
using namespace std;
int n,m,K,now,pre;
char c[MAXN][MAXN];
int head[p+3],nxt[1<<24];
int f[2][1<<24],fst[2][3][1<<24];
int cnt[2];
void insert(int state1,int state2,int state3,int val)
{
int ha=((((1ll*state1<<16)|state2)<<4)|state3)%p+1;//哈希
for(int i=head[ha];i;i=nxt[i])
if(fst[now][0][i]==state1&&fst[now][1][i]==state2&&fst[now][2][i]==state3)
{
f[now][i]=max(f[now][i],val);
return;
}
f[now][++cnt[now]]=val;
fst[now][0][cnt[now]]=state1;
fst[now][1][cnt[now]]=state2;
fst[now][2][cnt[now]]=state3;//三个状态
nxt[cnt[now]]=head[ha];
head[ha]=cnt[now];
}//hash表
int left(int state,int pos,int val)
{//向左寻找左括号
int tot=1;
while(true)
{
int pl=(state>>(pos<<1))&3;
if(pl==2)tot++;if(pl==1) tot--;
if(!tot)return state^(pl<<(pos<<1))^(val<<(pos<<1));
pos--;
}
}
int right(int state,int pos,int val)
{//向右寻找右括号
int tot=1;
while(true)
{
int pl=(state>>(pos<<1))&3;
if(pl==1)tot++;if(pl==2) tot--;
if(!tot)return state^(pl<<(pos<<1))^(val<<(pos<<1));
pos++;
}
}
char tmp[MAXN][MAXN];
signed main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%s",c[i]);
if(n<m)
{//n<m的时候把地图转90度
memcpy(tmp,c,sizeof(c));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
c[j][i]=tmp[i][j];
swap(n,m);
}
cnt[0]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=1;j<=cnt[now];j++)
fst[now][0][j]<<=2;
for(int j=1;j<=cnt[now];j++)
fst[now][1][j]=(fst[now][1][j]^(((fst[now][1][j]>>(m+1<<1))&3)<<(m+1<<1)))<<2;//更新上一行的状态
for(int j=0;j<m;j++)
{
pre=now;now^=1;cnt[now]=0;
memset(head,0,sizeof(head));//注意初始化
for(int k=1;k<=cnt[pre];k++)
{
int sta=fst[pre][0][k],stb=fst[pre][1][k],stc=fst[pre][2][k];
int val=f[pre][k];
if(sta>=(1<<(m+1<<1)))continue;
int pl1=(sta>>(j<<1))&3;//right
int pl2=(sta>>(j+1<<1))&3;//down
int r=(stb>>(j<<1))&3;//右状态
int ur=(stb>>(j+1<<1))&3;//右上状态
int u=(stb>>(j+2<<1))&3;//上状态
int ul=(stb>>(j+3<<1))&3;//左上状态
int now=(sta^(pl1<<(j<<1))^(pl2<<(j+1<<1)));
if((!pl1&&r==1)||(!pl2&&u==1))//1
{
if(pl1||pl2)continue;
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1)),stc,val);//放障碍
if(stc<K&&c[i][j]=='.')
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(3<<(j+1<<1)),stc+1,val+(r==1)+(ur==1)+(u==1)+(ul==1));//放炮台
}
else if(c[i][j]=='#'){if(!pl1&&!pl2)insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1)),stc,val);}//2
else if(c[i][j]=='.')//3
{
if(!pl1&&!pl2)//1)
{
if(stc<K)
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(3<<(j+1<<1)),stc+1,
val+(r==1)+(ur==1)+(u==1)+(ul==1));//放炮台
insert(now^(1<<(j<<1))^(2<<(j+1<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));//走
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1)),stc,val);//不走
}
else if(!pl1&&pl2)//2）
{
insert(now^(pl2<<(j<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
insert(now^(pl2<<(j+1<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
else if(pl1&&!pl2)//2）
{
insert(now^(pl1<<(j<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
insert(now^(pl1<<(j+1<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
else if(pl1==1&&pl2==1)//3）
insert(right(now,j,1),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==2&&pl2==2)//4）
insert(left(now,j,2),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==2&&pl2==1)//6）
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==1&&pl2==3)//7）
insert(right(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==2&&pl2==3)//8）
insert(left(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==3&&pl2==1)//7）
insert(right(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==3&&pl2==2)//8）
insert(left(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==3&&pl2==3)//9）
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
else if(c[i][j]=='S'||c[i][j]=='T')//4
{
if(c[i][j]=='S'&&!pl1&&!pl2)//1）
{
insert(now^(3<<(j<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
insert(now^(3<<(j+1<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
else if(c[i][j]=='T'&&!pl1&&!pl2)//1）
{
insert(now^(3<<(j<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
insert(now^(3<<(j+1<<1)),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
else if(!pl1&&pl2==1)//2）
insert(right(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(!pl1&&pl2==2)//3）
insert(left(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==1&&!pl2)//2）
insert(right(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==2&&!pl2)//3）
insert(left(now,j,3),stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(pl1==3&&!pl2)//4）
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
else if(!pl1&&pl2==3)//4）
insert(now,stb^(ur<<(j+1<<1))^(1<<(j+1<<1)),stc,
val+(r==3)+(ur==3)+(u==3)+(ul==3));
}
}
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=cnt[now];i++)//统计答案
if(!fst[now][0][i])
ans=max(ans,f[now][i]);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
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