14、二维傅里叶变换与频域图像处理全解析

二维傅里叶变换与频域图像处理全解析

1. 二维傅里叶变换基础

在图像处理等领域，二维傅里叶变换是一个非常重要的工具。与一维情况类似，一个二维空间变量的函数 ( f(x,y) ) 可以表示为二维谐波函数的加权叠加。从数学角度来看，二维傅里叶逆变换定义如下：
[
f(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(f_x,f_y) \exp[2\pi i (f_x x + f_y y)] df_x df_y = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(k_x,k_y) \exp[i (k_x x + k_y y)] dk_x dk_y
]
其中，加权函数 ( F(k_x,k_y) ) 被称为二维傅里叶变换，其计算公式为：
[
F(f_x,f_y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \exp[-2\pi i (f_x x + f_y y)] dx dy
]
[
F(k_x,k_y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \exp[-i (k_x x + k_y y)] dx dy
]

一些重要函数的傅里叶变换如下表所示：
| 函数名称 | 空间域 ( f(x) ) | 频率域 ( F(k) ) |