原码、反码、补码

这是一个困惑了我几年的问题,它让我对现在的教科书和老师极其不满,从我N年前开始摸电脑时,就几乎在每一本C++教科书上都说,8位有符号的取值范围是-128~+127,为什么不是-127~+127呢,后来的java,int的聚值范围,再32位计算,-2^31 ~ +2^31-1,可是,却从来没有任何一本教科书或一个老师比我解释过这个问题。 原因没有在工作上或者是什么地方直接遇到它,所以我也一直忽略它,但心里总是有一根刺.直到刚才!!!! 
    就是刚才,无聊之极,在看汇编的书时,又遇到它了,但一如以往,书上直接地,有心地,明显地绕过了这个问题,真是可恶啊. 

    几经周折,终于把它搞清楚了: 
其实,它是计算机底层为了实现数值运算而决定的,涉及非常非常基础的原码,反码,补码知识,一般(99.9999%)都不会用得上. 那0.0001%,估计也就是计算机考试了.

    话说: 
    用2^8来表示无符号整数的话,全世界的理解都是0 - 255了,那么,有符号呢? 用最高位表示符号,0为+,1为-,那么,正常的理解就是 -127 至 +127 了. 
    这就是原码了,值得一提的是,原码的弱点,有2个0,即+0和-0,还有就是,进行异号相加或同号相减时,比较笨蛋,先要判断2个数的绝对值大小,然后进行加减操作,最后运算结果的符号还要与大的符号相同. 
于是乎,反码产生了,原因....略,反正,没过多久,反码就成为了过滤产物,也就是,后来补码出现了. 

     补码的知识不说述,只说有关+127和-128的. 
     官方的定义 [-2^(n-1),2(n-1)-1],补码的0没有正负之分.原因呢?没有一本书上有说,这也是我这么火的原因,但通过思考,google,再思考,很快找到答案: 
     首先,难不免干点白痴般地事情,穷举一下... 
正数,原码跟补码一样 
+127, 0111 1111 
+126, 0111 1110 
+125, 0111 1101 
+124, 0111 1100 
+123, 0111 1011 
+122, 0111 1010 
... 
  +4, 0000 0100 
  +3, 0000 0011 
  +2, 0000 0010 
  +1, 0000 0001 
   0, 0000 0000 (无正负之分) 

下面是负数了,值,原码,符号位不变其它取反,+1 

  -1, 1000 0001, 1111 1110, 1111 1111 
  -2, 1000 0010, 1111 1101, 1111 1110 
  -3, 1000 0011, 1111 1100, 1111 1101 
  -4, 1000 0100, 1111 1011, 1111 1100 
  -5, 1000 0101, 1111 1010, 1111 1011 
  -6, 1000 0110, 1111 1001, 1111 1010 
  -7, 1000 0111, 1111 1000, 1111 1001 
  -8, 1000 1000, 1111 0111, 1111 1000 
  -9, 1000 1001, 1111 0110, 1111 0111 
-10, 1000 1010, 1111 0101, 1111 0110 
-11, 1000 1011, 1111 0100, 1111 0101 
-12, 1000 1100, 1111 0011, 1111 0100 
-13, 1000 1101, 1111 0010, 1111 0011 
-14, 1000 1110, 1111 0001, 1111 0010 
-15, 1000 1111, 1111 0000, 1111 0001 
-16, 1001 0000, 1110 1111, 1111 0000 
-17, 1001 0001, 1110 1110, 1110 1111 
... 
-24, 1001 1000, 1110 0111, 1110 1000 
... 
-99, 1110 0011, 1001 1100, 1110 0100 
... 
-124, 1111 1100, 1000 0011, 1111 1101 
-125, 1111 1101, 1000 0010, 1000 0011 
-126, 1111 1110, 1000 0001, 1000 0010 
-127, 1111 1111, 1000 0000, 1000 0001 
看出点什么了没有? 
如果没有,那么,给个提示, 再继续下去,下一个补码是什么呢? 

当然是 
-128, 先略过,再略过, 1000 0000 

1000 0000,那么,它的原码是什么呢? 
从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的 
先保留符号位其它求反:  1111 1111, 再加1:11000 0000, 超过了8位了 
对,用8位数的原码在这里已经无法表示了 
关键就在这里,补码 1000 0000 为 -128 是不用怀疑的(上面的穷举), 
那么,回到原码处, 它的原码也是 1000 0000(超出的自动丢失), 
1000 0000 在原码表示什么呢? -0, 但补码却规定0没有正负之分 
转换一下思路,看看计算机里,是怎么运算的: 
对于负数,先取绝对值,然后求反,加一 
-128 -> 128 -> 1000 0000 -> 0111 1111 -> 1000 0000 
现在明确了吧. 

所以, 8位有符号的整数取值范围的补码表示 
1000 0000 到 0000 0000, 再到 0111 1111 
即 -128 到 0, 再到 127 
最终 -128 ~ +127 

感谢google,感谢被我浏览过又关闭了还忘记了姓名的广大的blog们,优快云(那上面也有些不错的东西)

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补充说明

   “一个n位有符号int型数值，其范围为-2^(n-1) ——2^(n-1) -1”，对于这个问题，很多人都是困惑不已。其实，导致此情况的根本原因是“人们解决问题时，习惯以人的思维思考问题，但是，计算机本身确实以机器的思维进行处理的”。在这里，就表现为“计算机对数据的处理其实是以‘补码’的形式，而非日常生活中人们进行数学运算所采用的‘原码’的形式”，但是，人们在对“此数值范围”进行处理的时候，却习惯性的采用了“原码作为机器码”。

    在历史上，针对“数值”计算，计算机先后采用过3种机器码——原码、反码和补码。

    具体表示如下：

1.  原码   最高位为符号位，其余为对应数值的绝对值的二进制数值表示；

2.  反码   最高位为符号位，正数=原码 负数=符号位+原码对应的其他位数取反；

3.  补码   最高位为符号位，正数=原码  负数=反码+1。

    其中，符号位“0为+，1为-”。

    因为，计算机为数据类型分配了n位，超过n位的数值会被自动舍弃，那么， 就可以发现，现在计算机系统中采用的补码，克服了“原码中存在+0和-0”的情况，仅表现为一个0，（对于8位数据类型，即为8个0，具体推导见转载内容的穷举，-128计算补码时，产生的9位数据11000 0000--补码1000 0000）。

    对应而言，8位有符号位数值的范围就成为了“-2^(8-1) ——2^(8-1) -1”，即“-128——+127”。

    问题的关键就在这里了，“计算机为有符号int型数值分配固定的位数n存储数据，当数据位数大于n时，大于n的位数被自动舍弃”。这就是导致数值范围为“-2^(n-1) ——2^(n-1) -1”的原因，从而，也导致了数据范围中“模”概念的产生。

注：

1. 模

  “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。例如，虽然时钟的模=12，但是在时钟的指针并不能真正指向“12点”，“12点”的位置和“0点”是重合的，即12点以0点表示。

    换句话说，时钟的范围“0——11”，则模为12。

    对应而言，n位无符号数值的计量范围0～2^(n)-1，模=2^(n)； n位有符号数值，数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，则模为2^(n-1)。举例说明，8位无符号数值，二进制模为2^8；8位有符号数值，表示的数值范围为0——2^8-1。

2. 补码的运算规则

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 ；[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补。