[BZOJ 1010] HNOI 2008 玩具装箱toy · 斜率优化DP

最新推荐文章于 2019-09-06 14:16:51 发布

青禾script

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分类专栏：斜率优化动态规划 BZOJ 文章标签：斜率优化

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ycdfhhc/article/details/48371073

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本文详细阐述了在解决动态规划问题时如何运用斜率优化技术来提高效率，并通过实例展示了具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

第三次做这题终于A掉了，了结了一个心病。

首先还是列出裸的DP方程： $Fi=min\left \{ Fj+(i-j-1+si-sj-L)^{2} \right \}$

表示当前这个容器的末尾是第i个，上一个的末尾是第j个，si是对玩具长度做的前缀和。

那么用斜率优化的话，我们还是设x>y且x优于y,可以得到这个式子： $Fx+(i-x-1+Si-Sx-L)^{2}<Fy+(i-y-1+Si-Sy-L)^{2}$

然后为了方便化简，我们设Ti=i+Si,P=L+1，就可以得到这个式子：

$\frac{Fx-Fy+Tx^{2}-Ty{^2}}{2*(Tx-Ty)}<Ti+P$

这样就可以直接斜率优化搞了，如果斜率优化有不理解的可以看我的BZOJ 3156的题解，还是比较简洁易懂的。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N=5*1e5+5;
ll n,L,f[N],t[N],a[N],s[N],p;  //t[i]=s[i]+i
ll q[N],l,r;
ll i,j;

ll getX(ll x,ll y){
	return 2*(t[x]-t[y]);
}

ll getY(ll x,ll y){
	return (f[x]+t[x]*t[x])-(f[y]+t[y]*t[y]);
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&L);
	p=L+1;
	for (i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		s[i]=s[i-1]+a[i];
		t[i]=i+s[i];
	}
	l=r=q[0]=0;
	for (i=1;i<=n;i++){
		int X=getX(q[l+1],q[l]),Y=getY(q[l+1],q[l]);
		while (l<r && getY(q[l+1],q[l])<(t[i]-p)*getX(q[l+1],q[l])) l++;
		j=q[l];
		f[i]=f[j]+(t[i]-t[j]-p)*(t[i]-t[j]-p);
		while (l<r && getY(q[r],q[r-1])*getX(i,q[r])>getY(i,q[r])*getX(q[r],q[r-1])) r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}