2、虚拟相机与投影几何知识解析

虚拟相机与投影几何知识解析

1. 投影几何概念

投影几何的相关知识对理解视频帧的相机校准十分重要。下面介绍一些关键的投影几何概念。

1.1 投影空间

• 维度为 $n$ 的投影空间记为 $\mathbb{RP}^n$，它是 $\mathbb{R}^{n + 1}$ 中所有过原点的直线的集合。
• 投影空间中的点 $p \in \mathbb{RP}^n$ 是一个等价类 $p = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_{n + 1})$，其中 $\lambda \neq 0$。即 $p = (x_1, \ldots, x_{n + 1}) \equiv (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_{n + 1}) = \lambda p$。
• 投影空间 $\mathbb{RP}^n$ 可分解为两个集合：仿射空间 $\mathbb{R}^n$，即投影点乘以某个常数后 $x_{n + 1} = 1$ 的集合；以及理想点空间，其中 $x_{n + 1} = 0$。用数学表达式表示为：$\mathbb{RP}^n = {(x_1, \ldots, x_{n + 1}), x_{n + 1} \neq 0} \cup {(x_1, \ldots, x_n, 0)}$。

1.2 投影变换

• 若函数 $T : \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^m$ 视为 $T : \mathbb{R}^{n + 1} \to \mathbb{R}^{m + 1}$