关于逆元的学习笔记（尚未完成）

最新推荐文章于 2025-01-18 10:05:36 发布

y_immortal

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分类专栏：数学+数论文章标签： c++

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本文介绍了在模意义下求解整数逆元的三种方法：利用费马小定理进行快速幂运算、扩展欧几里得算法及线性求逆元方法，并提供了具体的数学推导与代码实现。

QwQ嘤嘤嘤只是为了整理一下自己的求逆元的方法

假设我们要求a在模p意义下的逆元，我们会有以下几种做法：

1>如果p是质数的话

a p - 1 \equiv 1 (mod p)

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$

那么我们稍加变形，就能得出

a p - 2 \equiv 1 a (mod p)

$a^{p-2} \equiv \frac{1}{a} \pmod p$

那么 $a^{p-2}$ 就是逆元了
可以直接用快速幂求解

ll qsm(ll ii,ll j)
{
  ll ans=1;
  while (j)
  {
     if (j&1) ans=ans*i%mod;
     i=i*i%mod;
     j>>=1;
  }
  return ans;
}

int main()
{
    inv = qsm(a,p-2)
}

2.扩展欧几里得
求逆元，实际上就是求这个式子的x

a x \equiv 1 (mod p)

$ax \equiv 1 \pmod p$

然后解一下就好

void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b)
{
  if (b==0)
  {
    x=1;
    y=0;
    return;
  }
  exgcd(x,y,b,a%b);
  ll tmp =x;
  x=y;
  y=tmp-a/b*y;
}

3.线性求逆元

能够求出 $1-n$ 所有数在 $mod$ p意义下的逆元

首先我们对于一个要求的数 $i$ 来说

$p=k*i+r$
那么

k * i + r \equiv 0 (mod p)

$k*i+r \equiv 0 \pmod p$

等式两边同时乘 $i^{-1}*r^{-1}$

则

k * r - 1 + i - 1 \equiv 0 (mod p)

$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod p$

i - 1 \equiv - k * r - 1 (mod p)

$i^{-1}\equiv -k*r^{-1} \pmod p$

又因为 $k=\lfloor \frac{p}{i} \rfloor，r=p\ \%\ i$

所以

i - 1 \equiv - ⌊ p i ⌋ * (p mod i) - 1 (mod p)

$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p\mod\ i)^{-1} \pmod p$

inv[1]=1;
  for (int i=2;i<=n;i++)
  {
     inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];
     inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;
  }