2018.6清北学堂day4下午

矩阵乘法

矩阵乘法的性质：

$0A=0,A0=0$
$IA=A,AI=A$
$A(BC)=(AB)C$
$A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$

逆矩阵

定义：设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得$AB=BA=I$

则称A是可逆的（或者非奇异的），B是A的一个 逆矩阵

否则称A是不可逆的（或奇异的）

det运算符

定理，设$A,B$是n阶方阵，则$det(AB)=det(A)det(B)$

引理：设A为n阶方阵，$AX=0$有非零解的充分必要条件是A奇异（不可逆）

引理：若$det(A)!=0$则$det(A^{-1})=(det(A))^{-1}$

求逆矩阵的方法

1>待定系数法
2>公式法：$A_{-1} = \frac{1}{det(A)}A^*$

3>定义法:若$AB=I$，则$B=A^{-1}$

逆矩阵的性质：
1.$(A^{-1})^{-1}=A$
2.$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
3.$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$

一个新定理：设A为n阶方阵，若A可逆，则线性方程组$AX=B$有唯一解$X=A^{-1}B$

矩阵的初等变换

单位阵$I$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩形

用初等矩阵左（右）乘矩阵A，相当于对矩阵A实行相应的初等行(列)变换

定理：初等矩阵都可逆

求逆矩阵

构造一个$n \times 2n$的矩阵$(A I)$

$A^{-1}(A,I) = (A^{-1}A,A^{-1}I)=(I,A^{-1})$

那么实际上就是通过初等变换

$$BB_1B_2.....(A,I)=(I,A^{-1})$$

所以

$$BB_1B_2..... = A^{-1}$$

一个小插曲：二维平面旋转公式：

(x,y)向量 顺时针旋转$\alpha$
得到$(x',y')$,则

$$x' = \sin(\alpha)\times y + \cos(\alpha)\times x$$
$$y' = \cos(\alpha)\times y - \sin(\alpha)\times x$$
基尔霍夫矩阵

引理：
1>$|D| = 0$
2>如果图$G$不连通，任意余子式$M_{ii}=0$
3>如果图G是一棵树，那么任意余子式$M_{ii}=1$
4>如果图G是一棵树，那么给矩阵$D_{11}$加上1之后，余子式$M_{ii}$为1

那基尔霍夫矩阵到底是什么呢？
无向图
一个图的邻接矩阵G：对于无向图的边$(u,v)，G[u][v]++,G[v][u]++$

一个图的度数矩阵D：对于无向图的边$(u,v)，D[u][u]++,D[v][v]++;$

而通过这两个矩阵就可以构造出图G的基尔霍夫矩阵：$C=D-G.$

有向图，没有生成树，但是有树形图：
树形图：以i点为根节点的树形图有(n-1)条边，从i节点出发可以到达其他所有(n-1)个节点.

定义： 有向图的邻接矩阵$G$：对于有向图的边$(u,v)$，$G[u][v]++.$

有向图的度数矩阵$D$：对于有向图的边$(u,v)$，$D[v][v]++.$

尤其需要注意的是：有向图的度数矩阵指的是一个点的入度，而不是出度。

而有向图的基尔霍夫矩阵的构造方式是一模一样的：$C=D-G.$

或者说
$D_{ii}=degree(i)$
$D_{ij}=-cnt(i,j)$ cnt表示边数

矩阵树定理

给定图$G$，则图$G$的生成树个数等于其对应的基尔霍夫矩阵的主余子式的值

完全图的生成树个数是$n^{n-2}$

而求解主余子式的时候，可以使用高斯消元来求解