codeforces316E3 Summer Homework（线段树，斐波那契数列）

最新推荐文章于 2022-07-08 14:45:57 发布

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#c++ #数据结构 #线段树

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本文介绍了一种结合线段树和斐波那契数列的数据结构问题解决方法，通过矩阵乘法快速更新和查询数列的特定区间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定一个n个数的数列，m个操作，有三种操作：
$1\ x\ v$ 将 $a_x$ 的值修改成v

$2\ l\ r\$ 求 $\sum_{i=l}^r x_i*f_{i-l}$ 其中对于 $f$ 数组 $f_0=1\ ，f_1=1\ ，f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ （就是斐波那契数列）

$3\ l\ r\ x\$ 让 $a_i+x，i\in[l,r]$

其中 $n\le 100000，m\le 100000$

一看这个题QwQ，就知道是线段树题
QwQ那么怎么维护节点信息和合并区间呢

来举个栗子试一下
对于系数分别为 $1\ 1,1\ 2$ 来说

将二者相加变为 $2\ 3$ 也就是以第三个元素开头的系数序列了~

由于fib序列相加还是fib序列

哇，那这么说，这个题目所给的求和的操作，也是可以通过已知矩阵乘转移矩阵快速得到目标矩阵

那么！就可以通过这个东西来转移了！

[0111]

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 1 \\ \end{bmatrix}$

所以！对于左右区间来说，合并的时候，只需要把右区间乘上左区间的长度次方（就相当于把右边这个区间的变为 $f_{mid-l+1}$ 项开头）

同时，我们发现要进行矩阵转移，必须记录当前这个区间的元素从 $f_0$ 开始和 $f_1$ 开始的两个值，才能够进行矩阵计算

QwQ因为我不会矩阵乘法呀！
所以我是选择手动展开了矩阵的n次方
最后假设是求矩阵的n次方的话
那么最终的矩阵应为

[f i b n - 2 f i b n - 1 f i b n - 1 f i b n]

$\begin{bmatrix} {fib}_{n-2} & {fib}_{n-1} \\ {fib}_{n-1}& {fib}_{n} \\ \end{bmatrix}$

~只需要预处理一下fib序列和fib序列的前缀和就行了

void up(int root)
{
    ll len = f[2*root].len;
    f[root].len=(f[2*root].len+f[2*root+1].len)%mod;
    f[root].fir=(f[2*root].fir+f[2*root+1].fir*get(len-2)+f[2*root+1].sec*fib[len-1])%mod;
    f[root].sec=(f[2*root].sec+f[2*root+1].fir*fib[len-1]+f[2*root+1].sec*fib[len])%mod;
}

接着，我们考虑，对3操作
如果让一个区间加x，就是让这个区间加x*fib前缀和的区间长度-1项（因为 $f_0=1$ ）（求答案的是从 $f_0$ 开始乘）
emmmm所以也是可以直接做了咯（记得从1开始乘的那个信息需要-add[root]）

void pushdown(int root,int l,int r)
{
    if (add[root])
    {
        add[2*root]=(add[2*root]+add[root])%mod;
        add[2*root+1]=(add[2*root+1]+add[root])%mod;
        f[2*root].fir=(f[2*root].fir+add[root]*sum[f[2*root].len-1])%mod;
        f[2*root].sec=(f[2*root].sec+add[root]*sum[f[2*root].len]-add[root])%mod;
        f[2*root+1].fir=(f[2*root+1].fir+add[root]*sum[f[2*root+1].len-1])%mod;
        f[2*root+1].sec=(f[2*root+1].sec+add[root]*sum[f[2*root+1].len]-add[root])%mod; //之所以-1是因为要减掉fib[0] 
        add[root]=0;
    }
}

update和change和build都差不多~

需要注意的是！！！！！！！！！

query的时候，不能直接 $return\ f[root].fir$

因为如果让区间为 $[l,r]$ ，就需要将这一段嫁接到 $[x,l-1]$ 的后面，对，所以也需要想之前合并的时候那样乘一个fib

if (x<=l && r<=y)
    {
        int len = l-1-x+1;
        if (len==0) return f[root].fir;  
        return f[root].fir*get(len-2)+f[root].sec*get(len-1);
    }

其他的都差不多了啦

直接上代码！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long

using namespace std;

inline ll read()
{
  ll x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 2e5+1e2;
const int mod = 1000000000;

struct Node
{
    ll fir,sec,len;
};

Node f[4*maxn];
ll add[4*maxn];
ll a[maxn];
ll fib[maxn],sum[maxn];
int n,m;

void init()
{
    fib[0]=1,fib[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
    sum[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+fib[i])%mod;
}

ll get(int x)
{
    if (x<0) return 0;
    else return fib[x];
}

void up(int root)
{
    ll len = f[2*root].len;
    f[root].len=(f[2*root].len+f[2*root+1].len)%mod;
    f[root].fir=(f[2*root].fir+f[2*root+1].fir*get(len-2)+f[2*root+1].sec*fib[len-1])%mod;
    f[root].sec=(f[2*root].sec+f[2*root+1].fir*fib[len-1]+f[2*root+1].sec*fib[len])%mod;
}

void pushdown(int root,int l,int r)
{
    if (add[root])
    {
        add[2*root]=(add[2*root]+add[root])%mod;
        add[2*root+1]=(add[2*root+1]+add[root])%mod;
        f[2*root].fir=(f[2*root].fir+add[root]*sum[f[2*root].len-1])%mod;
        f[2*root].sec=(f[2*root].sec+add[root]*sum[f[2*root].len]-add[root])%mod;
        f[2*root+1].fir=(f[2*root+1].fir+add[root]*sum[f[2*root+1].len-1])%mod;
        f[2*root+1].sec=(f[2*root+1].sec+add[root]*sum[f[2*root+1].len]-add[root])%mod; //之所以-1是因为要减掉fib[0] 
        add[root]=0;
    }
}

void build(int root,int l,int r)
{
    if (l==r)
    {
        f[root].sec=f[root].fir=a[l]%mod;
        f[root].len=1;
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    build(2*root,l,mid);
    build(2*root+1,mid+1,r);
    up(root);
}

void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
{
    if (x<=l && r<=y)
    {
        add[root]=(add[root]+p)%mod;
        f[root].fir=(f[root].fir+sum[r-l]*p)%mod;
        f[root].sec=(f[root].sec+sum[r-l+1]*p-p)%mod;
        return;
    }
    pushdown(root,l,r);
    int mid = (l+r) >> 1;
    if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
    if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
    up(root);
}

void change(int root,int l,int r,int x,int p)
{
    if (l==r)
    {
        f[root].fir=f[root].sec=p%mod;
        add[root]=0;
        f[root].len=1;
        return;
    }
    pushdown(root,l,r);
    int mid = (l+r) >> 1;
    if (x<=mid) change(2*root,l,mid,x,p);
    if (x>mid) change(2*root+1,mid+1,r,x,p);
    up(root);
}

ll query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
    if (x<=l && r<=y)
    {
        int len = l-1-x+1;
        if (len==0) return f[root].fir;  
        return f[root].fir*get(len-2)+f[root].sec*get(len-1);
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    pushdown(root,l,r);
    ll ans=0;
    if (x<=mid) ans=(ans+query(2*root,l,mid,x,y))%mod;
    if (y>mid) ans=(ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y))%mod;
    return ans%mod;
}

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  init();
  for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  build(1,1,n);
  //cout<<query(1,1,n,1,4)<<endl;
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
     int opt;
     opt=read();
     if (opt==1)
     {
        int x=read();
        ll y=read();
        change(1,1,n,x,y);
       }
    if (opt==2)
    {
        int x=read(),y=read();
        //cout<<x<<" "<<y<<endl;
        printf("%lld\n",query(1,1,n,x,y));
        //cout<<query(1,1,n,1,4)<<endl;
    }
    if (opt==3)
    {
        int x=read(),y=read();
        ll z=read();
        update(1,1,n,x,y,z);
    }
  }
  return 0;
}