【CodeForces 316E3】Summer Homework（线段树 + 数论）

最新推荐文章于 2024-12-01 03:34:23 发布

Galaxy Coder

最新推荐文章于 2024-12-01 03:34:23 发布

阅读量499

点赞数 2

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：线段树数论文章标签： CodeForces

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42068627/article/details/80141719

线段树同时被 2 个专栏收录

4 篇文章

订阅专栏

数论

1 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一道名为SummerHomework的问题解决思路，该问题涉及数列操作和查询，通过线段树结合斐波那契数列进行高效求解。文章详细解析了两种合并节点的方法，并附带了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

【CodeForces 316E3】Summer Homework

题目大意

给定一个数列 $a_1$ , $a_2$ ··· $a_n$ ，支持三种操作：
1 x v 表示 $a_x\leftarrow v$
2 l r 表示询问 $\sum_{i=0}^{r-l}{f_ia_{i+l}}$ $(f_0=1,f_1=1,f_i=f_{i-2}+f_{i-1})$
3 l r v 表示对于所有的 ${l\le x\le r}$ ， $a_x\leftarrow a_x+v$

题解

果断使用线段树
记 $s_i=\sum_{j=0}^{i}f_i$
记 $point$ 为当前节点
记 $lftson$ 为当前节点的左儿子
记 $rhtson$ 为当前节点的右儿子
每一个节点维护 $len=区间长度$ ， $sum0=\sum_{i=0}^{r-l}{f_ia_{i+l}}$ 和 $sum1=\sum_{i=0}^{r-l}{f_{i+1}a_{i+l}}$

方法一：使用矩阵快速幂
问题一：如何合并两个节点？
$\left( \begin{matrix} sum0[point],sum1[point] \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} sum0[lftson],sum1[lftson] \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} sum0[rhtson],sum1[rhtson] \end{matrix} \right)\times \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) ^{len[lftson]}$

问题二：区间加法对节点的贡献是什么？
$\sum_{I=0}^{len[point]}{f_i}=v\times len[point]$

方法二：不使用矩阵
问题：如何合并两个节点？
$sum0[point]=sum0[lftson]+sum0[rhtson]\times f_{len[lftson]-2}+sum1[rhtson]\times f_{len[lftson]-1}$
$sum1[point]=sum1[lftson]+sum0[rhtson]\times f_{len[lftson]-1}+sum1[rhtson]\times f_{len[lftson]}$

总结：方法二只是形式上省掉了矩阵乘法，本质没有改变，但是代码变得更加简洁，常数更小，跑得更快。

再转一个很不错的题解：Ice Princess 的博客

代码（方法二）

#include <cstdio>
#define mxn 200000
#define mod 1000000000
#define ls (p<<1)
#define rs (ls|1)
#define md (l+r>>1)
int n,m,f[mxn|1],s[mxn|1],a[mxn<<2|2];
inline int fibonacci(int p);
inline int plusmod(int x,int y);
inline int plusmod(int x,int y,int z);
inline int mulmod(int x,int y);
inline int minusmid(int x,int y);
struct node {
    int len,sum0,sum1;
    node() {}
    node(int l,int s0,int s1) {
        len=l,sum0=s0,sum1=s1;
    }
    node operator+(const node &o) const {
        node x(len+o.len,0,0);
        x.sum0=plusmod(sum0,mulmod(o.sum0,fibonacci(len-2)),mulmod(o.sum1,fibonacci(len-1)));
        x.sum1=plusmod(sum1,mulmod(o.sum0,fibonacci(len-1)),mulmod(o.sum1,fibonacci(len)));
        return x;
    }
} t[mxn<<2|2];
inline int plusmod(int x,int y) {
    x+=y,x-=(x>=mod?mod:0);
    return x;
}
inline int plusmod(int x,int y,int z) {
    return plusmod(plusmod(x,y),z);
}
inline int minusmod(int x,int y) {
    x-=y,x+=(x<0?mod:0);
    return x;
}
inline int mulmod(int x,int y) {
    return 1ll*x*y%mod;
}
void prework() {
    f[0]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=mxn;i++)
        f[i]=plusmod(f[i-1],f[i-2]);
    s[0]=1;
    for(int i=1;i<=mxn;i++)
        s[i]=plusmod(s[i-1],f[i]);
}
inline int fibonacci(int p) {
    return p<0?0:f[p];
}
void build(int p,int l,int r) {
    if(l==r) {
        scanf("%d",&t[p].sum0);
        t[p].len=1,t[p].sum1=t[p].sum0;
        return;
    }
    build(ls,l,md);
    build(rs,md+1,r);
    t[p]=t[ls]+t[rs];
}
void update(int p,int l,int r,int x) {
    int len=r-l+1;
    t[p].sum0=plusmod(t[p].sum0,mulmod(x,s[len-1]));
    t[p].sum1=plusmod(t[p].sum1,minusmod(mulmod(x,s[len]),x));
}
void push_down(int p,int l,int r) {
    if(!a[p])   return;
    if(l-r) {
        a[ls]=plusmod(a[ls],a[p]);
        a[rs]=plusmod(a[rs],a[p]);
        update(ls,l,md,a[p]);
        update(rs,md+1,r,a[p]);
    }
    a[p]=0;
}
void change(int p,int l,int r,int x,int y) {
    if(l==r) {
        t[p]=node(1,y,y);
        return;
    }
    push_down(p,l,r);
    if(x<=md)   change(ls,l,md,x,y);
    else    change(rs,md+1,r,x,y);
    t[p]=t[ls]+t[rs];
}
void modify(int p,int l,int r,int lx,int rx,int x) {
    if(l==lx&&r==rx) {
        a[p]=plusmod(a[p],x);
        update(p,l,r,x);
        return;
    }
    push_down(p,l,r);
    if(rx<=md)  modify(ls,l,md,lx,rx,x);
    else if(lx>md)  modify(rs,md+1,r,lx,rx,x);
    else    modify(ls,l,md,lx,md,x),modify(rs,md+1,r,md+1,rx,x);
    t[p]=t[ls]+t[rs];
}
node query(int p,int l,int r,int lx,int rx) {
    if(l==lx&&r==rx)    return t[p];
    push_down(p,l,r);
    if(rx<=md)  return query(ls,l,md,lx,rx);
    if(lx>md)   return query(rs,md+1,r,lx,rx);
    return query(ls,l,md,lx,md)+query(rs,md+1,r,md+1,rx);
}
int main() {
    prework();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build(1,1,n);
    int op,x,y,z;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        switch(op) {
        case 1:
            change(1,1,n,x,y);
            break;
        case 2:
            printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).sum0);
            break;
        case 3:
            scanf("%d",&z);
            modify(1,1,n,x,y,z);
        }
    }
    return 0;
}