73、无环超图的并连接图与子集图

无环超图的并连接图与子集图

1. 超图基础概念

• 基本定义 ：
  • 设 $UV = { uv | v \in V }$，$UE = { uE | E \in E }$，$EI = { uvuE | v \in E }$，且 $|EI| = N$。
  • 若未特别说明，本文中所有超图的关联图都是连通、有限、无向且无多重边的。超图通常以其关联图的形式给出，输入规模为 $\Theta(N)$。若超图 $H$ 的两条超边在其关联图 $I(H)$ 中由不同顶点表示，则称这两条超边是不同的，即便它们包含相同的顶点。
  • 若对于 $1 \leq i < k$，超图 $H$ 中存在超边 $E$ 使得 $v_i, v_{i + 1} \in E$，则顶点序列 $\langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle$ 构成 $H$ 中的一条路径。
  • 设 $X, Y, Z$ 是 $H$ 的顶点集，若 $X \neq \varnothing$ 且 $H$ 中从 $Y$ 到 $Z$ 的每条路径都包含 $X$ 中的顶点，则称 $X$ 分离 $Y$ 和 $Z$。
• 分隔器与分隔超图 ：
  • 设 $T$ 是无环超图 $H$ 的连接树，$E_i$ 和 $E_j$ 是 $H$ 中在 $T$ 里相邻的两条超边，称 $S = E_i \cap E_j$ 为 $H$ 相对于 $T$ 的分隔器。若 $T$ 有根且 $E_i$ 是 $E_j$ 的父节点，则称 $S^{\upa