6、超图与精确横截的深入解析

超图与精确横截的深入解析

超图的基本定义与性质

超图可视为图的一种推广形式。在超图里，其边被称作超边，这些超边能够与任意数量的顶点相关联。

超图 (H) 由一个二元组 (H = (V, E)) 来定义，其中 (V = {v_1, \ldots, v_n}) 是一个任意的、非空的顶点集合；(E = {E_1, \ldots, E_m}) 是超边的集合，且这些超边是 (V) 的子集。例如，当 (V = {v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6}) ，(E = {E_1, E_2, E_3}) ，其中 (E_1 = {v_1, v_2, v_3}) ，(E_2 = {v_1, v_5, v_6}) ，(E_3 = {v_4, v_5}) 时，(H_1 = { {v_1, v_2, v_3}, {v_1, v_5, v_6}, {v_4, v_5}}) 就是一个基于 (V) 的超图，其超边集合为 (E)。

和图类似，超图最常用的表示方法之一是关联矩阵。在关联矩阵中，行对应超边，列对应顶点。若矩阵元素为 1，则表示第 (j) 条超边（(j \in {1, \ldots, m})）与第 (i) 个顶点（(i \in {1, \ldots, n})）相关联；否则，该元素为 0。关联矩阵 (A) 的定义如下：
[
A =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } v_i \in E_j \
0, & \text{如果 } v_i \notin E_j
\end{cases}
]

下面是一些不同类型超图的定义：
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