69、半随机超图中的独立集与图最大匹配的量子算法

半随机超图中的独立集与图最大匹配的量子算法

半随机超图中计算大独立集的算法

在解决半随机超图中计算大独立集的问题时，我们旨在证明定理 2 的正式版本，它是对相关定理在 r - 均匀超图上的推广。关键在于利用集合 S 中向量的半定规划（SDP）质量的下界。

1. 引理 3 ：对于 $k \geq r2^{2r + 2}e^{r^3p}$，存在顶点 $u \in S$，使得在输入的随机性下，大概率有：
   • $E_{v\in S \setminus {u}} \langle x^ _u, x^ v \rangle \geq E { {i_1,i_2,\cdots,i_{r - 1}} \sim (S \setminus {u})^{r - 1}} \langle x^ _u, x^ {i_1,i_2,\cdots,i {r - 1}} \rangle \geq 1 - f(r)n^{r - 1}k^{r - 0.5}\sqrt{p}$
   • 此引理表明，集合 S 中很大一部分 1 - 级向量在 $x^*_u$ 上有较大投影。
2. 定义 4 ：我们用 $B_u(l, R, T)$ 表示所有包含集合 $T \subseteq V$（其中 $l \leq |T|$）中顶点的 l - 元组的集合，这些元组对应的向量与向量 $x^*_u$ 的投影至少为 R，即：
   • $B_u(l, R, T) \s