52、有限供应下的图定价问题研究

有限供应下的图定价问题研究

1. 问题概述与下界分析

在图定价问题中，当涉及有限供应时，我们面临着诸多挑战。对于每个节点 (u \in V) 和 (0 \leq r \leq d)，有 (\tau(u, r) \leq C^{d - r})。这意味着每个 (v \in L) 在这些球中的权重恰好为 (\frac{C^{d + 1} - 1}{C - 1})，并且在球边界上的权重恰好为 (C^d)。对 (\tau(u, r)) 的这种限制是为了确保用于证明相关定理的局部搜索算法能在多项式时间内运行。

在下界方面，无界容量的 L - 侧定价问题可以通过简单的贪心算法在多项式时间内解决。然而，即使在容量较小的图中，L - 侧定价问题仍然是 APX 困难的。这表明我们不能期望通过将带容量的图定价问题归约为 L - 侧定价问题来获得匹配的 4 - 近似解。具体定理如下：
- 定理 6 ：即使所有容量最多为 4 且所有客户的预算为 1 或 2，L - 侧定价问题仍然是 APX 困难的。
- 定理 7 ：对于任何 (\epsilon > 0)，即使在所有容量都为 1 的实例中，单交换算法（算法 1）的局部性差距至少为 (2 - \epsilon)。
- 定理 8 ：对于任何 (C \geq 2)，(\rho \geq 1)，(\epsilon > 0)，在最大容量最多为 (C) 的 L - 侧定价实例上，(\rho) - 交换算法（算法 3）的局部性差距至少为 ((\frac{2C - 1}{C} - \epsilon))。

2. 相关工