49、图探索与聚类问题研究

图探索与聚类问题研究

1. k - 边缺失时态图的探索

在图探索领域，k - 边缺失时态图的探索是一个重要的研究方向。下面我们将详细介绍相关的探索策略和时间复杂度分析。

1.1 探索策略与时间复杂度分析

当对 k - 边缺失时态图进行探索时，我们会遇到不同的情况。这里主要考虑两种情况：

情况 1：|C1| > 1
- 首先，我们会找到一个合适的子图进行处理。存在一个子图 X，然后按照特定方式处理 X 和另外两个未探索的子图，就像处理 1 ≤ i ≤ c 的 Xi 那样。
- 经过一系列处理后，在 2 - 偏心树中，以 C1 的子节点为根的子树所对应的子图 Gj 最多还剩一个未被探索。由于 C1 的选择，这个子图 Gj 最多有 n/2 个顶点，并且最多有 k - 1 个 2 - 偏心距（因为它不包含 2 - 偏心距 C1）。
- 接下来，我们使用归纳假设对 Gj 进行递归探索，最多需要 164 · n/2 = 82n 步。
- 为了确定总的时间步数，我们假设 c = 3，处理 GXi（i ∈ [3]）后还剩下 3 个子图未探索，需要进行两次减少未探索子图数量的操作，并且需要进行一次递归调用以探索最后一个未探索的子图。通过情况分析可以知道，这是完成探索所需总步数的最坏情况。
- 整个探索过程由以下几个部分组成：
1. 从起始点 s 移动到 X1 中的一个顶点 v1，最多需要 n 步。
2. 探索 GX1（除了最多一个子图 Gj），最多需要 4Exp(X1) 步。
3. 对 GX2 进行同样的操作，最多需要 n + 4Exp(X2) 步（其