35、哈林图和嵌套伪树的少斜率平面绘制及带团图冲突的装箱问题研究

哈林图和嵌套伪树的少斜率平面绘制及带团图冲突的装箱问题研究

哈林图和嵌套伪树的少斜率平面绘制

在图绘制领域，如何以较少的斜率实现平面绘制是一个重要的研究问题。这里主要探讨了哈林图和嵌套伪树的少斜率平面绘制相关内容。

3 - 连通循环树的性质

对于一个 3 - 连通图 $G$，$G^-$ 至少是 2 - 连通的。存在一条路径 $\pi$ 连接 $\ell$ 和 $r$，且该路径包含至少一个不同于 $v$ 的树顶点。设 $\rho$ 是从 $\ell$ 到 $r$ 遍历 $\pi$ 时遇到的这样一个顶点。$G^-$ 中若存在度为 2 的顶点，这些顶点都属于 $\pi$。通过将 $\pi$ 中不同于 $\ell$、$\rho$ 和 $r$ 的度为 2 的顶点（如果有的话）替换为连接其端点的边，得到图 $G^*$，它是以 $\rho$ 为根，最左路径顶点为 $\ell$，最右路径顶点为 $r$ 的几乎 3 - 连通路径树。

有引理表明，每个度为 $\Delta$ 的 3 - 连通循环树 $G$ 满足 $psn(G) \in O(|S|)$。证明过程如下：
- 若 $G$ 的外边界有 3 个顶点，$G$ 的边总数为 $O(\Delta)$，所以 $psn(G) \in O(\Delta) \subseteq O(|S|)$。
- 假设 $G$ 的外边界有超过 3 个顶点。设 $T$ 是 $G^ $ 的 SPQ - 树，$\triangle(abc)$ 是一个等边三角形。通过应用引理 3 可得到 $G^ $ 在 $\triangle(abc)$ 内的平面直线绘制 $\Gamma^ $。可以证明存在 $G$ 的平面直线